Thi THPT · Môn Toán · Xác suất có điều kiện

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Làm 17 câu bài tập tương tác → Các bài khác môn Toán

Học xong bài này bạn sẽ

Lý thuyết cần nắm

Chương này trả lời một câu hỏi rất đời thường: khi đã biết thêm một thông tin, xác suất của một biến cố thay đổi thế nào? Toàn bộ công cụ gói trong bốn công thức nối tiếp nhau, mỗi công thức là bước tiếp theo của công thức trước.

1. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B)\gt 0$. Xác suất của $A$ với điều kiện $B$ là $$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ Ý nghĩa: ta thu hẹp không gian mẫu lại còn đúng phần $B$ đã xảy ra, rồi hỏi trong phần đó có bao nhiêu phần thuộc $A$. Vì thế mẫu số là $P(B)$ chứ không phải $P(A)$ — đây là chỗ nhầm nhiều nhất.

Nói chung $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$. Hai đại lượng này chỉ bằng nhau khi $P(A)=P(B)$. Trong các bài toán chẩn đoán, nhầm hai chiều này là nhầm "xét nghiệm dương tính khi có bệnh" với "có bệnh khi xét nghiệm dương tính" — hai con số có thể lệch nhau hàng chục lần.

Hai biến cố $A$, $B$ độc lập khi và chỉ khi $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, tương đương $P(A\mid B)=P(A)$: biết $B$ xảy ra cũng không làm thay đổi cơ hội của $A$.

2. Công thức nhân xác suất

Nhân chéo công thức trên được $$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$ Với ba biến cố: $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B)$. Đây chính là cơ sở của lối tính "lấy lần lượt, không hoàn lại".

3. Bảng $2\times 2$ — cách đọc mọi xác suất có điều kiện

Khi dữ kiện cho bằng số lượng, kẻ bảng hai chiều là cách an toàn nhất. Ví dụ một lớp $40$ học sinh, thống kê theo giới tính và việc tham gia câu lạc bộ tiếng Anh:

Có tham gia ($C$)Không tham gia ($\overline{C}$)Tổng dòng
Nữ ($N$)15924
Nam ($\overline{N}$)61016
Tổng cột211940

Từ bảng đọc thẳng ra: $P(N\cap C)=\dfrac{15}{40}$; $P(C\mid N)=\dfrac{15}{24}$ (chia cho tổng dòng Nữ); $P(N\mid C)=\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{7}$ (chia cho tổng cột Có tham gia). Cùng một ô $15$ nhưng ba câu hỏi khác nhau chia cho ba mẫu số khác nhau — nhìn bảng thì không thể lẫn.

4. Sơ đồ hình cây và công thức xác suất toàn phần

Khi bài toán chia thành nhiều giai đoạn, vẽ sơ đồ hình cây: nhánh cấp một là các khả năng của giai đoạn đầu, nhánh cấp hai gắn xác suất có điều kiện. Quy tắc: đi dọc một nhánh thì nhân, gộp nhiều nhánh thì cộng.

Nếu $A$ và $\overline{A}$ chia đôi không gian mẫu (với $0\lt P(A)\lt 1$) thì với mọi biến cố $B$: $$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\mid\overline{A}\right).$$ Tổng quát hơn, nếu $A_1,A_2,\dots,A_n$ đôi một xung khắc và hợp lại lấp đầy không gian mẫu thì $$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\cdot P(B\mid A_i).$$ Đọc theo lối thực tế: xác suất một sản phẩm bị lỗi bằng tổng của "tỉ lệ do dây chuyền nào làm ra nhân với tỉ lệ lỗi của dây chuyền đó".

5. Công thức Bayes — đảo chiều điều kiện

Xác suất toàn phần đi từ nguyên nhân tới kết quả. Bayes đi ngược lại: đã thấy kết quả, hỏi nguyên nhân nào có khả năng cao nhất. $$P(A\mid B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}=\dfrac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(A)\cdot P(B\mid A)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\mid\overline{A}\right)}.$$ Tử số là một nhánh của cây, mẫu số là tổng mọi nhánh dẫn tới $B$. Vì vậy mọi bài Bayes đều gồm hai bước: tính xác suất toàn phần ở mẫu, rồi lấy nhánh cần hỏi chia cho nó.

Một hệ quả quan trọng và phản trực giác: khi tỉ lệ mắc bệnh trong dân số rất nhỏ, dù xét nghiệm rất chính xác thì $P\left(\text{có bệnh}\mid\text{dương tính}\right)$ vẫn có thể thấp, vì số người khoẻ đông hơn hẳn nên lượng dương tính giả áp đảo.

Ví dụ mẫu có lời chữa

Ví dụ 1. Một hộp có $6$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh, các viên bi cùng kích thước. Lấy lần lượt hai viên bi, lấy xong không trả lại vào hộp. Tính xác suất để cả hai viên lấy ra đều là bi đỏ.
Gọi $A$ là biến cố 'viên thứ nhất là bi đỏ' và $B$ là biến cố 'viên thứ hai là bi đỏ'. Biến cố cần tính là $A\cap B$, và vì hai lần lấy nối tiếp nhau nên dùng công thức nhân $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$. Lần thứ nhất, hộp có đủ $10$ viên trong đó $6$ viên đỏ, nên $P(A)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$. Sau khi đã lấy ra một viên đỏ và không trả lại, hộp chỉ còn $9$ viên với $5$ viên đỏ, do đó $P(B\mid A)=\dfrac{5}{9}$. Nhân hai số: $P(A\cap B)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}$. Điểm mấu chốt là ở lần lấy thứ hai, cả tử và mẫu đều giảm đi $1$ vì đã có một viên đỏ rời hộp. Nếu bài đổi thành 'lấy có hoàn lại' thì hai lần lấy độc lập, khi đó $P(B\mid A)=P(B)=\dfrac{6}{10}$ và kết quả sẽ là $\dfrac{9}{25}$ — hai con số khác nhau rõ rệt, nên phải đọc kỹ đề xem có trả lại hay không.
Ví dụ 2. Một xí nghiệp có hai máy. Máy I làm ra $60\%$ tổng sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là $2\%$; máy II làm ra $40\%$ tổng sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là $5\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của xí nghiệp. Tính xác suất sản phẩm đó là phế phẩm.
Gọi $M_1$, $M_2$ lần lượt là biến cố 'sản phẩm do máy I làm ra' và 'sản phẩm do máy II làm ra'; gọi $E$ là biến cố 'sản phẩm là phế phẩm'. Hai biến cố $M_1$, $M_2$ xung khắc và hợp lại lấp đầy toàn bộ lô hàng, nên dùng được công thức xác suất toàn phần. Từ đề bài: $P(M_1)=0{,}6$, $P(M_2)=0{,}4$, $P(E\mid M_1)=0{,}02$, $P(E\mid M_2)=0{,}05$. Vẽ sơ đồ hình cây: nhánh cấp một tách theo máy, nhánh cấp hai tách theo đạt chuẩn hay phế phẩm. Đi dọc nhánh 'máy I rồi phế phẩm' ta nhân được $0{,}6\times 0{,}02=0{,}012$; đi dọc nhánh 'máy II rồi phế phẩm' ta nhân được $0{,}4\times 0{,}05=0{,}02$. Hai nhánh này cùng dẫn tới $E$ và không thể xảy ra đồng thời, nên cộng lại: $P(E)=0{,}012+0{,}02=0{,}032$. Vậy có khoảng $3{,}2\%$ sản phẩm của xí nghiệp là phế phẩm. Sai lầm hay gặp là cộng thẳng hai tỉ lệ phế phẩm $0{,}02+0{,}05=0{,}07$, tức quên nhân với tỉ trọng của từng máy.
Ví dụ 3. Với xí nghiệp ở ví dụ trên, biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy II làm ra.
Câu hỏi này đảo chiều điều kiện so với ví dụ trước: trước đó ta biết máy rồi hỏi phế phẩm, bây giờ biết phế phẩm rồi hỏi máy. Đó chính là tình huống dùng công thức Bayes $P(M_2\mid E)=\dfrac{P(M_2)\cdot P(E\mid M_2)}{P(E)}$. Tử số là riêng nhánh đi qua máy II: $P(M_2)\cdot P(E\mid M_2)=0{,}4\times 0{,}05=0{,}02$. Mẫu số là xác suất toàn phần đã tính ở ví dụ trước: $P(E)=0{,}032$. Vậy $P(M_2\mid E)=\dfrac{0{,}02}{0{,}032}=\dfrac{20}{32}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$. Đọc lại kết quả cho có nghĩa: máy II chỉ làm ra $40\%$ sản phẩm, nhưng trong số phế phẩm thì tới $62{,}5\%$ là của máy II, vì tỉ lệ lỗi của nó cao hơn hẳn. Kiểm chéo bằng cách tính nốt nhánh còn lại: $P(M_1\mid E)=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}=\dfrac{3}{8}=0{,}375$, và $\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}=1$ đúng như phải có. Lỗi phổ biến nhất ở dạng này là lấy luôn $0{,}05$ làm đáp án, tức trả lời $P(E\mid M_2)$ thay vì $P(M_2\mid E)$.

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp ở chương này

  • Lẫn $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$: hỏi 'người dương tính thì bao nhiêu phần trăm mắc bệnh' nhưng lại trả lời bằng độ nhạy của xét nghiệm. Hai đại lượng này chỉ bằng nhau khi $P(A)=P(B)$, còn lại thì khác nhau, có khi khác hàng chục lần.
  • Chia nhầm mẫu số: dùng $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Mẫu số luôn là xác suất của biến cố đứng sau dấu gạch, vì đó mới là không gian mẫu đã bị thu hẹp.
  • Quên nhân xác suất của nhánh trong công thức toàn phần: cộng thẳng hai tỉ lệ lỗi $2\%+5\%=7\%$ thay vì $0{,}6\times 2\%+0{,}4\times 5\%=3{,}2\%$. Đi dọc một nhánh thì nhân, chỉ khi gộp nhiều nhánh mới được cộng.
  • Dùng công thức toàn phần khi hệ biến cố chưa đầy đủ hoặc chưa xung khắc: các $A_i$ phải đôi một không giao nhau và hợp lại phải lấp kín không gian mẫu, nếu không tổng các nhánh sẽ thiếu hoặc đếm trùng.
  • Coi hai biến cố là độc lập chỉ vì chúng 'nghe có vẻ không liên quan'. Độc lập là một đẳng thức phải kiểm: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Với dữ liệu bảng $2\times 2$ thì hầu như không bao giờ độc lập.
  • Lấy có hoàn lại và không hoàn lại dùng chung một cách tính: khi không hoàn lại, ở lần lấy sau cả tử và mẫu đều thay đổi, nên $P(B\mid A)\ne P(B)$.

17 câu bài tập của bài này

Vào làm bài tập →