Thi THPT · Môn Toán · Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện

Làm 17 câu bài tập tương tác → Các bài khác môn Toán

Học xong bài này bạn sẽ

Lý thuyết cần nắm

Bài này trả lời một câu hỏi rất đời thường: khi đã biết chắc một biến cố đã xảy ra, cơ hội của biến cố còn lại thay đổi thế nào? Toàn bộ chương xác suất lớp 12 dựng trên đúng một định nghĩa dưới đây; công thức nhân, cách kiểm độc lập, bảng hai chiều và sơ đồ hình cây đều chỉ là các cách dùng lại nó.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B)\gt 0$. Xác suất của $A$ với điều kiện $B$ là $$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ Ý nghĩa: biết $B$ đã xảy ra thì không gian mẫu bị thu hẹp lại còn đúng phần $B$; trong phần đó ta hỏi có bao nhiêu phần thuộc $A$. Vì thế mẫu số phải là $P(B)$ — xác suất của biến cố đứng sau dấu gạch — chứ không phải $P(A)$.

Điều kiện $P(B)\gt 0$ là bắt buộc: không thể lấy điều kiện trên một biến cố không bao giờ xảy ra, vì mẫu số sẽ bằng $0$. Ngoài ra $P(A\mid B)$ vẫn là một xác suất, nên luôn nằm trong đoạn từ $0$ đến $1$; ra kết quả lớn hơn $1$ là dấu hiệu chắc chắn đã chia nhầm mẫu số.

Hai chiều điều kiện là hai đại lượng khác nhau. Nói chung $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$; chúng chỉ bằng nhau khi $P(A)=P(B)$. Trong một bài đọc bảng số liệu, hai con số này thường lệch nhau rõ rệt, và đọc nhầm chiều là lỗi mất điểm phổ biến nhất của chương.

2. Công thức nhân xác suất

Nhân chéo định nghĩa trên ta được công thức nhân, dùng cho các phép thử nối tiếp nhau: $$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$ Với ba biến cố: $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B)$. Đây chính là cơ sở của lối tính "lấy lần lượt, không hoàn lại": ở lần lấy thứ hai, cả tử lẫn mẫu đều đổi vì vật lấy ra không được trả lại.

3. Biến cố độc lập

Hai biến cố $A$, $B$ gọi là độc lập khi và chỉ khi $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B),$$ điều này tương đương với $P(A\mid B)=P(A)$ và cũng tương đương với $P(B\mid A)=P(B)$: biết $B$ xảy ra cũng không làm thay đổi cơ hội của $A$. Độc lập là một đẳng thức phải kiểm bằng số, không phải cảm nhận "hai chuyện này chẳng liên quan gì đến nhau". Cũng đừng lẫn độc lập với xung khắc: hai biến cố xung khắc có $P(A\cap B)=0$, nên nếu cả hai đều có xác suất dương thì chúng không độc lập.

4. Bảng hai chiều — cách đọc mọi xác suất từ số liệu

Khi dữ kiện cho bằng số lượng, kẻ bảng hai chiều rồi cộng đủ hai dòng tổng là cách an toàn nhất. Ví dụ khảo sát $200$ học sinh khối 12 theo hai tiêu chí "có học thêm tiếng Anh" và "đạt điểm từ $8$ trở lên":

Đạt từ $8$ trở lênChưa đạtTổng dòng
Có học thêm$90$$30$$120$
Không học thêm$20$$60$$80$
Tổng cột$110$$90$$200$

Gọi $H$ là biến cố "học sinh được chọn có học thêm" và $Đ$ là biến cố "học sinh được chọn đạt từ $8$ trở lên". Đọc từ bảng: $P(H)=\dfrac{120}{200}=0{,}6$; $P(Đ)=\dfrac{110}{200}=0{,}55$; $P(H\cap Đ)=\dfrac{90}{200}=0{,}45$. Từ đó $$P(Đ\mid H)=\dfrac{90}{120}=0{,}75\quad\text{còn}\quad P(H\mid Đ)=\dfrac{90}{110}=\dfrac{9}{11}\approx 0{,}818.$$ Mẹo đọc: tử số luôn là ô giao, còn mẫu số là tổng của dòng hay cột ứng với biến cố điều kiện. Hai biến cố này không độc lập vì $P(H)\cdot P(Đ)=0{,}33\ne 0{,}45$.

5. Sơ đồ hình cây

Với các phép thử nối tiếp, vẽ cây là cách trình bày gọn nhất: nhánh cấp một ghi $P(A)$, nhánh cấp hai ghi xác suất có điều kiện $P(B\mid A)$. Quy tắc chỉ có hai dòng: đi dọc một nhánh thì nhân, gộp nhiều nhánh khác nhau thì cộng. Tổng xác suất của tất cả các nhánh tận cùng luôn bằng $1$ — đây là phép kiểm nhanh nên làm trước khi khoanh đáp án.

Ví dụ mẫu có lời chữa

Ví dụ 1. Khảo sát $250$ nhân viên của một công ty về việc dùng xe buýt đi làm, kết quả như sau: trong $150$ nhân viên nam có $60$ người dùng xe buýt; trong $100$ nhân viên nữ có $55$ người dùng xe buýt. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên. Gọi $N$ là biến cố “chọn được nhân viên nam” và $B$ là biến cố “chọn được người dùng xe buýt”. Tính $P(B\mid N)$ và $P(N\mid B)$.
Trước hết lập bảng hai chiều cho đủ các ô: nam dùng xe buýt $60$, nam không dùng $150-60=90$; nữ dùng xe buýt $55$, nữ không dùng $100-55=45$. Tổng số người dùng xe buýt là $60+55=115$, tổng số nhân viên là $250$. Với $P(B\mid N)$, biến cố điều kiện là $N$ nên mẫu số phải là số nhân viên nam: $P(B\mid N)=\dfrac{60}{150}=0{,}4$. Với $P(N\mid B)$, biến cố điều kiện đổi thành $B$ nên mẫu số là số người dùng xe buýt: $P(N\mid B)=\dfrac{60}{115}=\dfrac{12}{23}\approx 0{,}522$. Cùng một ô giao $60$ nhưng hai mẫu số khác nhau nên hai kết quả khác hẳn nhau — đây chính là lí do không được đổi chiều điều kiện. Có thể kiểm lại bằng định nghĩa: $P(N\cap B)=\dfrac{60}{250}=0{,}24$ và $P(N)=\dfrac{150}{250}=0{,}6$, do đó $P(B\mid N)=\dfrac{0{,}24}{0{,}6}=0{,}4$, khớp với kết quả đọc thẳng từ bảng.
Ví dụ 2. Một lô hàng có $10$ sản phẩm, trong đó có $3$ sản phẩm bị lỗi. Lấy lần lượt hai sản phẩm, lấy xong không trả lại vào lô. Tính xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.
Gọi $T_1$ là biến cố “sản phẩm thứ nhất tốt” và $T_2$ là biến cố “sản phẩm thứ hai tốt”. Biến cố cần tính là $T_1\cap T_2$, và vì hai lần lấy nối tiếp nhau nên dùng công thức nhân $P(T_1\cap T_2)=P(T_1)\cdot P(T_2\mid T_1)$. Ở lần lấy thứ nhất, lô còn đủ $10$ sản phẩm trong đó có $10-3=7$ sản phẩm tốt, nên $P(T_1)=\dfrac{7}{10}$. Sau khi đã lấy ra một sản phẩm tốt và không trả lại, lô chỉ còn $9$ sản phẩm với $6$ sản phẩm tốt, do đó $P(T_2\mid T_1)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$. Nhân hai kết quả: $P(T_1\cap T_2)=\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{15}$. Điểm mấu chốt là ở lần lấy thứ hai cả tử lẫn mẫu đều giảm đi một đơn vị. Nếu lấy có hoàn lại thì kết quả sẽ là $\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{7}{10}=\dfrac{49}{100}$, khác hẳn.
Ví dụ 3. Trong một nhóm $100$ người, có $40$ người đeo kính, $60$ người dùng máy tính bảng và $24$ người vừa đeo kính vừa dùng máy tính bảng. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Gọi $K$ là biến cố “người được chọn đeo kính”, $M$ là biến cố “người được chọn dùng máy tính bảng”. Hai biến cố $K$ và $M$ có độc lập với nhau không?
Độc lập là một đẳng thức phải kiểm bằng số, nên ta tính đủ ba xác suất rồi so sánh. Từ số liệu: $P(K)=\dfrac{40}{100}=0{,}4$; $P(M)=\dfrac{60}{100}=0{,}6$; $P(K\cap M)=\dfrac{24}{100}=0{,}24$. Tích hai xác suất riêng lẻ là $P(K)\cdot P(M)=0{,}4\times 0{,}6=0{,}24$, đúng bằng $P(K\cap M)$. Vậy $K$ và $M$ độc lập. Kiểm lại bằng chiều điều kiện cũng cho cùng kết luận: $P(M\mid K)=\dfrac{24}{40}=0{,}6=P(M)$, nghĩa là biết một người đeo kính cũng không làm thay đổi cơ hội người đó dùng máy tính bảng. Cần nhớ rằng độc lập không có nghĩa là hai biến cố không giao nhau: ở đây có tới $24$ người thuộc cả hai nhóm. Trái lại, nếu hai biến cố xung khắc mà đều có xác suất dương thì chúng chắc chắn không độc lập.

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp ở chương này

  • Lẫn $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$: cùng một ô giao trong bảng nhưng hai mẫu số khác nhau nên hai kết quả khác nhau. Đọc kỹ vế đứng sau chữ “biết rằng” — đó mới là biến cố điều kiện.
  • Chia nhầm mẫu số, viết $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Mẫu số luôn là xác suất của biến cố đứng sau dấu gạch, vì đó mới là không gian mẫu đã bị thu hẹp. Ra kết quả lớn hơn $1$ là dấu hiệu đã chia nhầm.
  • Nhầm $P(A\cap B)$ với $P(A\mid B)$: câu hỏi “chọn một người, xác suất người đó vừa là nam vừa dùng xe buýt” lấy mẫu số là toàn bộ tập khảo sát, còn “biết người đó là nam, xác suất dùng xe buýt” lấy mẫu số là riêng nhóm nam.
  • Coi hai biến cố là độc lập chỉ vì chúng “nghe có vẻ không liên quan”. Độc lập phải kiểm bằng đẳng thức $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$; với số liệu khảo sát thật thì đẳng thức này hiếm khi xảy ra.
  • Lẫn độc lập với xung khắc. Xung khắc là $P(A\cap B)=0$; nếu $P(A)\gt 0$ và $P(B)\gt 0$ thì hai biến cố xung khắc chắc chắn không độc lập, vì $P(A)\cdot P(B)\gt 0$.
  • Dùng chung một cách tính cho “có hoàn lại” và “không hoàn lại”. Khi không hoàn lại, ở lần lấy sau cả tử lẫn mẫu đều thay đổi nên $P(B\mid A)\ne P(B)$; khi có hoàn lại thì hai lần lấy độc lập và được phép nhân hai xác suất ban đầu.

17 câu bài tập của bài này

Vào làm bài tập →