Thi THPT · Môn Toán · Thống kê

Số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Làm 17 câu bài tập tương tác → Các bài khác môn Toán

Học xong bài này bạn sẽ

Lý thuyết cần nắm

Ở lớp 10 ta đã đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu (số trung bình, trung vị, mốt). Nhưng hai mẫu có cùng số trung bình vẫn có thể khác nhau một trời một vực: một lớp mà ai cũng được 7 điểm khác hẳn một lớp nửa được 4 nửa được 10. Phần này học bốn số đo mức độ phân tán: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn, tính trên mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Bảng tần số ghép nhóm và giá trị đại diện

Khi số liệu quá nhiều hoặc đo bằng đại lượng liên tục (thời gian, chiều cao, khối lượng), ta chia miền giá trị thành các nửa khoảng liên tiếp $[a_1;a_2)$, $[a_2;a_3)$, ..., $[a_k;a_{k+1})$ rồi đếm xem mỗi nhóm có bao nhiêu số liệu. Ba quy ước bắt buộc nhớ:

  • Các nhóm phải rời nhau và phủ kín miền giá trị; đầu mút phải của nhóm này chính là đầu mút trái của nhóm kế tiếp, nên một số liệu bằng đúng $a_2$ được xếp vào nhóm $[a_2;a_3)$ chứ không phải nhóm trước.
  • Giá trị đại diện của nhóm $[a_i;a_{i+1})$ là trung điểm $c_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2}$. Mọi công thức từ đây trở đi đều coi cả $n_i$ số liệu trong nhóm đều bằng $c_i$ — đó là lý do kết quả tính trên bảng ghép nhóm chỉ là xấp xỉ của kết quả tính trên số liệu gốc.
  • Cỡ mẫu là $n=n_1+n_2+\dots+n_k$. Tần số tích luỹ của nhóm thứ $i$ là $cf_i=n_1+\dots+n_i$; đại lượng này chỉ dùng cho tứ phân vị, không dùng cho phương sai.

2. Bốn công thức

Số đặc trưngCông thứcĐo cái gì
Khoảng biến thiên $R$$R=a_{k+1}-a_1$Bề rộng toàn bộ miền số liệu; chỉ dùng hai đầu mút ngoài cùng
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$$\Delta_Q=Q_3-Q_1$Bề rộng của $50\%$ số liệu nằm giữa; bỏ hẳn hai đuôi
Phương sai $s^2$$s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i\left(c_i-\bar{x}\right)^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_ic_i^2-\bar{x}^2$Độ lệch bình phương trung bình so với $\bar{x}$
Độ lệch chuẩn $s$$s=\sqrt{s^2}$Như phương sai nhưng cùng đơn vị với số liệu

Trong đó số trung bình của mẫu ghép nhóm là $\bar{x}=\dfrac{n_1c_1+n_2c_2+\dots+n_kc_k}{n}$.

3. Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Gọi $p$ là chỉ số nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $cf_p\ge \dfrac{n}{4}$. Khi đó

$Q_1=a_p+\dfrac{\dfrac{n}{4}-cf_{p-1}}{n_p}\left(a_{p+1}-a_p\right)$.

Công thức của $Q_3$ giống hệt, chỉ thay mốc $\dfrac{n}{4}$ bằng $\dfrac{3n}{4}$; công thức của trung vị $Q_2$ dùng mốc $\dfrac{n}{2}$. Chú ý ba điều: mốc là $\dfrac{n}{4}$ chứ không phải $\dfrac{n+1}{4}$; số trừ ở tử là tần số tích luỹ của nhóm đứng trước; và mẫu số là tần số của chính nhóm chứa tứ phân vị, không phải cỡ mẫu.

4. Ý nghĩa thực tiễn — chọn số đo nào

  • Khoảng biến thiên dễ tính nhất nhưng chỉ nhìn hai đầu mút, nên một giá trị bất thường duy nhất cũng thổi phồng nó. Dùng khi cần biết nhanh biên độ tối đa: nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong tháng, khoảng lương thấp nhất tới cao nhất.
  • Khoảng tứ phân vị cắt bỏ $25\%$ ở mỗi đuôi nên không bị giá trị bất thường kéo đi. Đây là số đo nên dùng khi mẫu có vài số liệu quá lớn hoặc quá nhỏ, ví dụ thu nhập hộ gia đình.
  • Phương sai và độ lệch chuẩn dùng hết mọi số liệu nên phản ánh trung thực nhất, nhưng cũng nhạy với giá trị bất thường. Phương sai mang đơn vị bình phương (giây bình phương, kilôgam bình phương) nên không diễn giải trực tiếp được; vì vậy khi báo cáo ta luôn dùng độ lệch chuẩn, cùng đơn vị với số liệu.
  • So sánh độ phân tán của hai mẫu chỉ có nghĩa khi hai mẫu cùng đơn vị đo và số trung bình xấp xỉ nhau. Mẫu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì đồng đều hơn, ổn định hơn.

5. Hai tính chất hay bị hỏi

Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tức tịnh tiến mọi đầu mút nhóm) thì số trung bình tăng thêm $c$ nhưng phương sai và độ lệch chuẩn không đổi, vì độ phân tán không phụ thuộc gốc đo. Nhân mọi số liệu với $k\gt 0$ thì số trung bình và độ lệch chuẩn cùng nhân $k$, còn phương sai nhân $k^2$.

Ví dụ mẫu có lời chữa

Ví dụ 1. Thời gian tự học ở nhà trong một ngày (đơn vị: phút) của $40$ học sinh được ghi lại: nhóm $[0;10)$ có $6$ học sinh, nhóm $[10;20)$ có $10$ học sinh, nhóm $[20;30)$ có $16$ học sinh, nhóm $[30;40)$ có $8$ học sinh. Tính khoảng biến thiên và số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Bước 1: xác định hai đầu mút ngoài cùng. Nhóm đầu tiên là $[0;10)$ nên $a_1=0$; nhóm cuối cùng là $[30;40)$ nên $a_{k+1}=40$. Vậy khoảng biến thiên là $R=40-0=40$ phút. Lưu ý $R$ chỉ dùng hai đầu mút, hoàn toàn không dùng tần số, nên dù ta đổi các số $6$, $10$, $16$, $8$ thành số khác thì $R$ vẫn bằng $40$. Bước 2: lập giá trị đại diện là trung điểm mỗi nhóm: $c_1=5$, $c_2=15$, $c_3=25$, $c_4=35$. Bước 3: tính tổng $n_1c_1+n_2c_2+n_3c_3+n_4c_4=6\cdot 5+10\cdot 15+16\cdot 25+8\cdot 35=30+150+400+280=860$. Bước 4: chia cho cỡ mẫu $n=6+10+16+8=40$, được $\bar{x}=\dfrac{860}{40}=21{,}5$ phút. Kiểm tra hợp lý: $21{,}5$ nằm trong nhóm $[20;30)$ là nhóm đông nhất, đúng như trực giác. Nếu ta lỡ dùng đầu mút trái $0$, $10$, $20$, $30$ làm đại diện thì được $\bar{x}=16{,}5$, thấp hơn đúng $5$ phút — đó chính là nửa độ rộng nhóm, dấu hiệu nhận ra ngay là mình đã quên lấy trung điểm.
Ví dụ 2. Với mẫu số liệu ghép nhóm ở ví dụ 1 (các nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$, $[30;40)$ với tần số lần lượt là $6$, $10$, $16$, $8$), hãy tính khoảng tứ phân vị.
Bước 1: lập bảng tần số tích luỹ: $cf_1=6$, $cf_2=6+10=16$, $cf_3=16+16=32$, $cf_4=40$. Cỡ mẫu $n=40$. Bước 2: tìm $Q_1$. Mốc là $\dfrac{n}{4}=10$. Nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ không nhỏ hơn $10$ là nhóm $[10;20)$ vì $cf_1=6\lt 10$ còn $cf_2=16\ge 10$. Áp dụng công thức với $a_p=10$, $cf_{p-1}=6$, $n_p=10$, độ rộng nhóm bằng $10$: $Q_1=10+\dfrac{10-6}{10}\cdot 10=10+4=14$. Bước 3: tìm $Q_3$. Mốc là $\dfrac{3n}{4}=30$. Nhóm đầu tiên có $cf\ge 30$ là nhóm $[20;30)$ vì $cf_2=16\lt 30$ còn $cf_3=32\ge 30$. Ta có $Q_3=20+\dfrac{30-16}{16}\cdot 10=20+8{,}75=28{,}75$. Bước 4: khoảng tứ phân vị là $\Delta_Q=Q_3-Q_1=28{,}75-14=14{,}75$ phút. Ý nghĩa: một nửa số học sinh ở giữa có thời gian tự học nằm gọn trong một dải rộng $14{,}75$ phút, hẹp hơn nhiều so với khoảng biến thiên $40$ phút. Chênh lệch giữa hai con số này cho thấy hai đuôi của mẫu kéo dài ra khá xa.
Ví dụ 3. Khối lượng (đơn vị: gam) của $20$ gói chè do một máy đóng gói sản xuất được ghi trong bảng ghép nhóm: nhóm $[0;10)$ có $4$ gói, nhóm $[10;20)$ có $6$ gói, nhóm $[20;30)$ có $6$ gói, nhóm $[30;40)$ có $4$ gói (khối lượng đã trừ đi $100$ gam). Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu.
Bước 1: giá trị đại diện là $c_1=5$, $c_2=15$, $c_3=25$, $c_4=35$; cỡ mẫu $n=4+6+6+4=20$. Bước 2: tính số trung bình. $\sum n_ic_i=4\cdot 5+6\cdot 15+6\cdot 25+4\cdot 35=20+90+150+140=400$, do đó $\bar{x}=\dfrac{400}{20}=20$. Bước 3: dùng công thức rút gọn $s^2=\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i^2-\bar{x}^2$. Ta có $\sum n_ic_i^2=4\cdot 25+6\cdot 225+6\cdot 625+4\cdot 1225=100+1350+3750+4900=10100$. Suy ra $\dfrac{10100}{20}=505$ và $s^2=505-20^2=505-400=105$. Bước 4: kiểm lại bằng công thức định nghĩa cho chắc: $\sum n_i(c_i-\bar{x})^2=4\cdot 225+6\cdot 25+6\cdot 25+4\cdot 225=900+150+150+900=2100$, chia cho $20$ được đúng $105$. Hai đường cho cùng một số nên yên tâm. Bước 5: độ lệch chuẩn $s=\sqrt{105}\approx 10{,}25$ gam. Khi báo cáo phải nói $10{,}25$ gam chứ không nói $105$ gam, vì phương sai mang đơn vị gam bình phương, không diễn giải trực tiếp được.

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp ở chương này

  • Lấy hiệu hai giá trị đại diện để tính khoảng biến thiên. Với các nhóm $[0;10)$ đến $[30;40)$, học sinh tính $35-5=30$ trong khi đáp số đúng là $40-0=40$. Khoảng biến thiên dùng đầu mút ngoài cùng, không dùng trung điểm.
  • Dùng đầu mút trái (hoặc đầu mút phải) của nhóm làm giá trị đại diện khi tính số trung bình và phương sai. Kết quả lệch đúng bằng nửa độ rộng nhóm ở số trung bình; đây là lỗi làm hỏng cả dây tính phía sau vì phương sai phụ thuộc $\bar{x}$.
  • Trong công thức tứ phân vị, lấy tần số tích luỹ của chính nhóm chứa $Q_1$ thay vì của nhóm đứng trước nó, hoặc chia cho cỡ mẫu $n$ thay vì chia cho tần số $n_p$ của nhóm đó. Cả hai đều cho một con số nằm ngoài nhóm — đó là dấu hiệu tự kiểm tra: $Q_1$ bắt buộc phải nằm trong nhóm mà ta vừa chọn.
  • Dùng mốc $\dfrac{n+1}{4}$ như khi làm với mẫu số liệu không ghép nhóm. Với mẫu ghép nhóm, mốc luôn là $\dfrac{n}{4}$ và $\dfrac{3n}{4}$; sai mốc thì lệch nhẹ nên rất khó phát hiện khi rà lại.
  • Quên trừ $\bar{x}^2$ trong công thức rút gọn, tức lấy luôn $\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i^2$ làm phương sai. Con số ra được thường lớn gấp nhiều lần đáp số đúng; hãy nhớ phương sai không bao giờ vượt quá bình phương của nửa khoảng biến thiên.
  • Trả lời phương sai khi đề hỏi độ lệch chuẩn (hoặc ngược lại), và báo cáo phương sai kèm đơn vị gốc. Phương sai mang đơn vị bình phương; muốn nói cùng đơn vị với số liệu thì phải khai căn.

17 câu bài tập của bài này

Vào làm bài tập →