Toàn bộ bài này chỉ gồm sáu công thức, và cả sáu đều là một trong hai phép: chiếu một vectơ lên một phương (ra khoảng cách) hoặc lấy tích vô hướng chia cho tích độ dài (ra góc). Nhớ theo hai ý đó thì không cần học thuộc từng dòng.
Cho $M(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Lấy một điểm $M_1$ bất kỳ thuộc $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ thì $MH$ cùng phương với $\vec{n}$, nên $MH$ đúng bằng độ dài hình chiếu của vectơ $\overrightarrow{M_1M}$ lên phương $\vec{n}$:
$$d\left(M,(P)\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{M_1M}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$Mẫu số chính là $\left|\vec{n}\right|$; nó có mặt vì phép chiếu phải chia cho độ dài của phương chiếu. Quên mẫu là quên chuẩn hoá, và kết quả khi đó phụ thuộc vào việc ta viết phương trình mặt phẳng với hệ số nào — điều vô lý vì khoảng cách là một đại lượng hình học.
| Khoảng cách | Công thức | Hỏng khi |
|---|---|---|
| Hai mặt phẳng song song | đưa về cùng một bộ hệ số rồi lấy $\dfrac{\left|D_1-D_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | hai mặt không song song, hoặc quên rút gọn hệ số cho tỉ lệ |
| Điểm $M$ và đường thẳng $\Delta$ qua $A$, vectơ chỉ phương $\vec{u}$ | $d=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AM},\vec{u}\right]\right|}{\left|\vec{u}\right|}$ | $\vec{u}=\vec{0}$, tức không phải một đường thẳng |
| Đường thẳng song song mặt phẳng | lấy một điểm bất kỳ trên đường rồi dùng công thức điểm – mặt | đường cắt mặt (khi đó khoảng cách bằng $0$) |
| Hai đường chéo nhau qua $M_1$, $M_2$ | $d=\dfrac{\left|\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}\right|}{\left|\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\right|}$ | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=\vec{0}$, tức hai đường song song hoặc trùng nhau |
Công thức cuối đọc được thành lời: tử số là thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ, mẫu số là diện tích đáy, nên thương đúng là chiều cao — mà chiều cao ấy chính là khoảng cách giữa hai đường.
Hai dòng ngoài dùng cosin, dòng giữa dùng sin. Lý do rất hình học: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt, mà công thức lại tính qua vectơ pháp tuyến — vốn vuông góc với mặt. Hai góc ấy phụ nhau, nên cosin của góc này là sin của góc kia. Nhầm sin với cos là ra góc phụ: đáng lẽ $30^\circ$ thì trả lời $60^\circ$, và cả hai đều nằm sẵn trong bốn phương án.
Vì sao luôn có trị tuyệt đối. Ba công thức trên đều lấy trị tuyệt đối ở tử vì góc hình học giữa hai đối tượng luôn thuộc $\left[0^\circ;90^\circ\right]$. Bỏ trị tuyệt đối thì tích vô hướng âm sẽ cho một góc tù — đó là góc giữa hai vectơ, không phải góc giữa hai mặt phẳng. Cùng một cặp mặt phẳng, đổi chiều một vectơ pháp tuyến là góc giữa hai vectơ đổi thành góc bù, trong khi góc giữa hai mặt phẳng thì không đổi.
Mặt phẳng đã ở dạng tổng quát với vế phải bằng $0$, nên dùng thẳng được: $A=2$, $B=-2$, $C=1$, $D=-5$, tức $\vec{n}=(2;-2;1)$ và $\left|\vec{n}\right|=\sqrt{4+4+1}=3$.
Đường thẳng $MH$ nhận $\vec{n}$ làm vectơ chỉ phương nên có dạng $\left(1+2t;\,-2-2t;\,3+t\right)$. Thay vào phương trình $(P)$:
$$2(1+2t)-2(-2-2t)+(3+t)-5=0\iff 2+4t+4+4t+3+t-5=0\iff 9t+4=0\iff t=-\dfrac{4}{9}.$$Thay $t=-\dfrac{4}{9}$ được $H\left(\dfrac{1}{9};\,-\dfrac{10}{9};\,\dfrac{23}{9}\right)$.
$d\left(M,(P)\right)=\dfrac{4}{3}$ và $H\left(\dfrac{1}{9};-\dfrac{10}{9};\dfrac{23}{9}\right)$.
Kiểm thứ nhất: điểm $H$ phải thuộc $(P)$. Thay vào: $2\cdot\dfrac{1}{9}-2\cdot\left(-\dfrac{10}{9}\right)+\dfrac{23}{9}-5=\dfrac{2+20+23}{9}-5=\dfrac{45}{9}-5=0$, đúng.
Kiểm thứ hai: tính trực tiếp độ dài $MH$ mà không dùng công thức. Ta có $\overrightarrow{MH}=\left(\dfrac{1}{9}-1;\,-\dfrac{10}{9}+2;\,\dfrac{23}{9}-3\right)=\left(-\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};-\dfrac{4}{9}\right)=-\dfrac{4}{9}\vec{n}$, nên $MH=\dfrac{4}{9}\left|\vec{n}\right|=\dfrac{4}{9}\cdot 3=\dfrac{4}{3}$. Hai đường tính khác hẳn nhau cho cùng một số, và tiện thể xác nhận $\overrightarrow{MH}$ cùng phương với $\vec{n}$ đúng như hình vẽ mô tả.
Bẫy thứ nhất là quên mẫu $\left|\vec{n}\right|=3$, trả lời $4$. Bẫy thứ hai là thay nhầm dấu của toạ độ $y_0=-2$, tính $-2\cdot(-2)$ thành $-4$ và ra $\dfrac{|2-4+3-5|}{3}=\dfrac{4}{3}$ — trùng đáp số một cách tình cờ ở bài này, nên đừng lấy việc “ra số đẹp” làm bằng chứng đã đúng. Bẫy thứ ba là lấy $\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}$ nhưng cộng thành $\sqrt{8}$ do quên số hạng cuối.
Hệ số của $x$, $y$, $z$ cho ngay vectơ pháp tuyến; ẩn nào vắng mặt thì hệ số bằng $0$:
$$\vec{n_1}=(1;1;0),\qquad \vec{n_2}=(1;0;1).$$Hai vectơ này không cùng phương nên hai mặt phẳng cắt nhau, bài toán góc có nghĩa.
Từ $\cos\varphi=\dfrac{1}{2}$ và $0^\circ\le\varphi\le 90^\circ$ suy ra $\varphi=60^\circ$.
Dựng góc phẳng theo đúng định nghĩa. Giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left[\vec{n_1},\vec{n_2}\right]=(1;-1;-1)$. Lấy trong $(P)$ vectơ $\vec{a}=\left[\vec{n_1},\vec{u}\right]=(1;1;0)\times(1;-1;-1)=(-1;1;-2)$ và trong $(Q)$ vectơ $\vec{b}=\left[\vec{u},\vec{n_2}\right]=(1;-1;-1)\times(1;0;1)=(-1;-2;1)$. Cả hai đều vuông góc với $\Delta$ và nằm trong mặt phẳng tương ứng, nên góc giữa chúng chính là góc phẳng cần tìm:
$$\cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)=\dfrac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.$$Lại ra $60^\circ$, khớp với cách tính bằng pháp tuyến.
Bẫy thứ nhất là quên rằng ẩn vắng mặt có hệ số $0$: viết $\vec{n_1}=(1;1;-3)$ vì lấy luôn hằng số $-3$ làm toạ độ thứ ba. Bẫy thứ hai là dùng công thức sin dành cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó $\sin\varphi=\dfrac{1}{2}$ cho $\varphi=30^\circ$ — đúng góc phụ của đáp số, và $30^\circ$ luôn có mặt trong các phương án. Bẫy thứ ba là bỏ trị tuyệt đối ở một đề khác có tích vô hướng âm, dẫn tới góc tù như $120^\circ$, trong khi góc giữa hai mặt phẳng không bao giờ vượt quá $90^\circ$.
Vì $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\ne\vec{0}$ nên hai đường không song song và không trùng nhau — điều kiện để công thức khoảng cách hai đường chéo nhau dùng được đã thoả.
Tính $\overrightarrow{AB}=(0;2;-1)$ rồi lấy tích hỗn tạp:
$$\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{AB}=2\cdot 0+(-4)\cdot 2+2\cdot(-1)=-10\ne 0.$$Tích hỗn tạp khác $0$ nghĩa là ba vectơ không đồng phẳng, nên hai đường không cùng nằm trong một mặt phẳng: chúng chéo nhau. Nếu tích này bằng $0$ thì hai đường cắt nhau và khoảng cách bằng $0$.
Hai đường thẳng chéo nhau và $d\left(d_1,d_2\right)=\dfrac{5\sqrt6}{6}\approx 2{,}04$.
Dựng mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d_2$ và song song với $d_1$, rồi tính khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng đó — hai đại lượng này phải bằng nhau. Mặt phẳng $(\alpha)$ nhận $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=(2;-4;2)$, rút gọn thành $(1;-2;1)$, làm vectơ pháp tuyến và đi qua $B(1;2;0)$:
$$1(x-1)-2(y-2)+1(z-0)=0\iff x-2y+z+3=0.$$Khi đó $d\left(A,(\alpha)\right)=\dfrac{|1-0+1+3|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{5}{\sqrt6}=\dfrac{5\sqrt6}{6}$, trùng đúng kết quả trên. Thêm một phép chặn: đoạn $AB$ có độ dài $\sqrt{0+4+1}=\sqrt5\approx 2{,}24$, mà khoảng cách giữa hai đường phải nhỏ hơn hoặc bằng $AB$ — đúng vì $2{,}04\lt 2{,}24$.
Bẫy thứ nhất là quên trị tuyệt đối ở tử và trả lời số âm $-\dfrac{5\sqrt6}{6}$; khoảng cách âm là dấu hiệu tự tố cáo. Bẫy thứ hai là chia cho $\left|\vec{u_1}\right|\cdot\left|\vec{u_2}\right|$ thay vì cho $\left|\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\right|$, ra $\dfrac{10}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=2$ — một con số tròn trịa và rất dễ tin. Bẫy thứ ba là tính tích có hướng sai dấu ở toạ độ thứ hai, vốn có công thức $u_{1z}v_{1x}-u_{1x}v_{1z}$ chứ không phải ngược lại.