Thi THPT · Môn Toán · Phương pháp toạ độ trong không gian

Phương trình mặt cầu

Làm 17 câu bài tập tương tác → Các bài khác môn Toán

Học xong bài này bạn sẽ

Lý thuyết cần nắm

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R\gt 0$ là tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $IM=R$. Viết điều kiện đó bằng toạ độ ta được toàn bộ lí thuyết của bài này: mọi câu hỏi về mặt cầu đều quy về việc đọc ra tâm và bán kính, rồi so bán kính với một khoảng cách nào đó.

1. Hai dạng phương trình của mặt cầu

Dạng chính tắc. Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có phương trình $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$ Nhìn vào dạng này, tâm lấy dấu ngược với số trong ngoặc, còn vế phải là $R^2$ chứ không phải $R$ — hai chỗ sai dấu và sai bình phương này chiếm phần lớn số câu bị mất điểm.

Dạng tổng quát. Khai triển dạng trên và đặt $d=a^2+b^2+c^2-R^2$ ta được $$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.$$ Ngược lại, một phương trình bậc hai dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $$a^2+b^2+c^2-d\gt 0,$$ và khi đó tâm là $I(a;b;c)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$. Điều kiện $\gt 0$ là điều kiện chặt: nếu $a^2+b^2+c^2-d=0$ thì tập nghiệm chỉ còn đúng một điểm $I$, còn nếu âm thì không có điểm nào. Cả hai trường hợp đó đều không phải mặt cầu.

Muốn dùng được hai công thức trên, phương trình phải có đủ ba bình phương với cùng một hệ số và không chứa tích chéo $xy$, $yz$, $zx$. Gặp $2x^2+2y^2+2z^2-4x+8y-2=0$ thì phải chia cả hai vế cho $2$ trước khi đọc tâm.

2. Bốn kiểu dữ kiện thường gặp khi lập phương trình mặt cầu

Dữ kiện đề choCách xử líKết quả
Tâm $I$ và bán kính $R$Thay thẳng vào dạng chính tắc$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
Tâm $I$, đi qua điểm $A$$R=IA$, không cần khai căn vì chỉ dùng $R^2$$R^2=IA^2$
Đường kính $AB$Tâm là trung điểm $AB$, $R=\dfrac{AB}{2}$$R^2=\dfrac{AB^2}{4}$
Tâm $I$, tiếp xúc mặt phẳng $(P)$$R=d\left(I,(P)\right)$$R=\dfrac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Đi qua bốn điểm không đồng phẳngDùng dạng tổng quát, thay bốn điểm được hệ bốn phương trình bậc nhất ẩn $a,b,c,d$Giải hệ, suy ra $I$ và $R$

Riêng kiểu cuối, kinh nghiệm là luôn dùng dạng tổng quát: thay toạ độ từng điểm vào ta được hệ bậc nhất bốn ẩn, giải nhanh hơn nhiều so với việc lập ba phương trình khoảng cách bằng nhau ở dạng chính tắc.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$. Đặt $d=d\left(I,(P)\right)$. Toàn bộ việc xét vị trí tương đối gói trong một phép so sánh:

So sánhVị trí tương đốiGhi chú tính toán
$d\gt R$$(P)$ và $(S)$ không có điểm chungKhoảng cách ngắn nhất từ $(P)$ tới $(S)$ là $d-R$
$d=R$$(P)$ tiếp xúc $(S)$ tại đúng một điểm$(P)$ gọi là tiếp diện; tiếp điểm là hình chiếu của $I$ lên $(P)$
$d\lt R$$(P)$ cắt $(S)$ theo một đường trònBán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}$; tâm đường tròn là hình chiếu của $I$

Hai hệ quả hay được hỏi: khoảng cách lớn nhất từ một điểm của $(S)$ đến $(P)$ bằng $d+R$, còn khoảng cách nhỏ nhất bằng $\left|d-R\right|$. Khi $d=0$ thì $(P)$ đi qua tâm và cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, bán kính đúng bằng $R$.

Ví dụ mẫu có lời chữa

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-11=0$. Chứng tỏ đây là phương trình một mặt cầu, rồi tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Đối chiếu với dạng tổng quát $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, ta lấy hệ số của $x$, $y$, $z$ rồi chia cho $-2$: từ $-4x$ được $a=2$; từ $+2y$ được $b=-1$; từ $-6z$ được $c=3$; hạng tử tự do cho $d=-11$. Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu là $a^2+b^2+c^2-d\gt 0$. Ở đây $a^2+b^2+c^2-d=4+1+9+11=25\gt 0$ nên khẳng định được đây là phương trình một mặt cầu. Khi đó tâm là $I(2;-1;3)$ và bán kính $R=\sqrt{25}=5$. Có thể kiểm lại bằng cách nhóm bình phương đủ: $x^2-4x=(x-2)^2-4$, $y^2+2y=(y+1)^2-1$, $z^2-6z=(z-3)^2-9$, thay vào được $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25$, đúng như kết quả vừa tìm. Hai chỗ dễ sai: quên chia đôi hệ số (đọc tâm thành $I(4;-2;6)$) và quên đổi dấu (đọc tâm thành $I(-2;1;-3)$).
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có tâm $I(1;2;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x+2y+2z-2=0$.
Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng nghĩa là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng đúng bằng bán kính, tức $R=d\left(I,(P)\right)$. Đây là dữ kiện thứ tư trong bảng lí thuyết, và điều quan trọng là phải chia cho độ dài vectơ pháp tuyến chứ không chỉ lấy trị tuyệt đối của tử số. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;2;2)$, có $\left|\vec{n}\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$. Thay toạ độ tâm vào vế trái của $(P)$: $1+2\cdot 2+2\cdot 3-2=1+4+6-2=9$. Vậy $R=\dfrac{\left|9\right|}{3}=3$. Mặt cầu có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=3$ nên phương trình là $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$. Lưu ý vế phải là $R^2=9$, không phải $R=3$; và nếu quên chia cho $3$ thì ra $R=9$ rồi viết vế phải là $81$ — một sai lầm rất phổ biến.
Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=25$ và mặt phẳng $(P): x+2y-2z+14=0$. Xét vị trí tương đối của $(S)$ và $(P)$; nếu chúng cắt nhau, tính bán kính đường tròn giao tuyến.
Đọc trực tiếp từ dạng chính tắc: tâm $I(1;-2;1)$, bán kính $R=\sqrt{25}=5$. Tiếp theo tính khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng, vì mọi kết luận về vị trí tương đối đều dựa trên so sánh $d$ với $R$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;2;-2)$ với $\left|\vec{n}\right|=\sqrt{1+4+4}=3$. Thay tâm vào: $1+2\cdot(-2)-2\cdot 1+14=1-4-2+14=9$, do đó $d=\dfrac{9}{3}=3$. Vì $3\lt 5$ nên $d\lt R$: mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Bán kính đường tròn giao tuyến tính bằng định lí Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi tâm mặt cầu, tâm đường tròn và một điểm trên giao tuyến: $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$. Vậy giao tuyến là đường tròn bán kính $4$, có tâm là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$.

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp ở chương này

  • Đọc tâm mặt cầu sai dấu: từ $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16$ lại ghi tâm $I(-2;1;-3)$. Trong dạng chính tắc, tâm luôn lấy số đối của hằng số trong mỗi ngoặc, nên ngoặc $(y+1)$ ứng với $b=-1$.
  • Nhầm bán kính với bình phương bán kính: thấy vế phải là $16$ liền kết luận $R=16$, hoặc ngược lại biết $R=3$ nhưng viết vế phải là $3$. Vế phải của dạng chính tắc luôn là $R^2$.
  • Quên điều kiện $R\gt 0$: coi mọi phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ đều là mặt cầu. Phải kiểm $a^2+b^2+c^2-d\gt 0$; nếu bằng $0$ thì tập nghiệm chỉ là một điểm, nếu âm thì tập nghiệm rỗng.
  • Quên chia đôi khi chuyển từ dạng tổng quát sang tâm: thấy $-6z$ liền lấy $c=6$ thay vì $c=3$. Hệ số của $z$ là $-2c$, nên phải chia cho $-2$ mới ra toạ độ tâm.
  • Tính khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng mà quên chia cho $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$, dẫn tới bán kính lớn gấp mấy lần giá trị đúng trong bài mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng.
  • Lẫn bán kính mặt cầu với bán kính đường tròn giao tuyến: khi $(P)$ cắt $(S)$, đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}$, luôn nhỏ hơn $R$; lấy luôn $r=R$ hoặc $r=R-d$ đều sai.

17 câu bài tập của bài này

Vào làm bài tập →