Một mặt phẳng được xác định bởi một điểm và một hướng vuông góc với nó. Đường thẳng thì ngược lại: nó được xác định bởi một điểm và một hướng nằm dọc theo nó. Toàn bộ bài học này xoay quanh sự đối lập đó, và cũng chính chỗ này sinh ra lỗi nhiều nhất — lẫn vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến.
Vectơ $\vec{u}\ne\vec{0}$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $d$. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, chúng đôi một cùng phương: nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương thì $k\vec{u}$ với $k\ne 0$ cũng vậy. Vì thế $(2;-4;6)$ và $(1;-2;3)$ chỉ cùng một hướng, được phép rút gọn thoải mái.
Hai nguồn cấp vectơ chỉ phương hay dùng nhất: đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ thì nhận $\vec{AB}$ làm vectơ chỉ phương; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì nhận chính vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của $(P)$ làm vectơ chỉ phương.
| Dạng | Công thức | Điều kiện dùng được |
|---|---|---|
| Tham số | $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$, $z=z_0+ct$ với $t\in\mathbb{R}$ | Luôn dùng được |
| Chính tắc | $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ | Chỉ khi $abc\ne 0$ |
Trong cả hai dạng, $M_0(x_0;y_0;z_0)$ là một điểm thuộc đường thẳng và $\vec{u}=(a;b;c)$ là vectơ chỉ phương. Đọc ngược lại cũng phải nhanh như vậy: nhìn $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{3}$ là biết ngay $d$ qua $M_0(1;-2;0)$ với $\vec{u}=(2;-1;3)$. Chú ý dấu: mẫu số là hệ số của $t$, còn số trừ ở tử là toạ độ điểm, nên $y+2$ ứng với $y_0=-2$ chứ không phải $2$.
Ba cách lập phương trình thường gặp: qua một điểm và biết vectơ chỉ phương thì thay thẳng vào công thức; qua hai điểm $A$, $B$ thì lấy $\vec{u}=\vec{AB}$ rồi dùng điểm $A$; qua một điểm và song song với đường thẳng $d'$ thì mượn vectơ chỉ phương của $d'$, sau đó phải kiểm điểm đã cho không nằm trên $d'$ để tránh hai đường thẳng trùng nhau.
Cho $d_1$ qua $M_1$ với vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$, và $d_2$ qua $M_2$ với vectơ chỉ phương $\vec{u_2}$. Quy trình bốn bước, làm đúng thứ tự thì không bao giờ kết luận nhầm:
| Bước | Kiểm gì | Kết luận |
|---|---|---|
| 1 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=\vec{0}$ và $M_1\in d_2$ | Trùng nhau |
| 2 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=\vec{0}$ và $M_1\notin d_2$ | Song song |
| 3 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\ne\vec{0}$ và $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\vec{M_1M_2}=0$ | Cắt nhau |
| 4 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\ne\vec{0}$ và $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\vec{M_1M_2}\ne 0$ | Chéo nhau |
Cách làm bằng hệ phương trình cũng đúng: cho từng toạ độ của hai đường thẳng bằng nhau, giải hệ ba phương trình hai ẩn $t$ và $s$. Hệ có đúng một nghiệm là cắt nhau, vô nghiệm mà hai vectơ chỉ phương không cùng phương là chéo nhau, vô số nghiệm là trùng nhau. Nhưng nhớ dùng hai tham số khác tên: viết chung một chữ $t$ cho cả hai đường thẳng là ép chúng chạy cùng nhịp, hệ thành vô nghiệm giả và ta kết luận chéo nhau oan.
Góc giữa hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ luôn nằm trong $[0^\circ;90^\circ]$, nên công thức bắt buộc có dấu giá trị tuyệt đối: $$\cos\left(d_1,d_2\right)=\dfrac{\left|\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}\right|}{\left|\vec{u_1}\right|\cdot\left|\vec{u_2}\right|}.$$ Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ cũng nằm trong $[0^\circ;90^\circ]$ nhưng dùng sin, vì $\vec{u}$ và $\vec{n}$ vuông góc nhau khi $d$ song song với $(P)$: $$\sin\left(d,(P)\right)=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}.$$ Nhớ sai chỗ sin – cos này là kết quả lệch đúng $90^\circ$ trừ đi giá trị thật, một sai số rất khó phát hiện vì con số vẫn trông hợp lý.