Thi THPT · Môn Toán · Phương pháp toạ độ trong không gian

Phương trình mặt phẳng

Làm 17 câu bài tập tương tác → Các bài khác môn Toán

Học xong bài này bạn sẽ

Lý thuyết cần nắm

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, mọi mặt phẳng đều được mô tả trọn vẹn bởi hai dữ kiện: một điểm mà nó đi qua và một hướng vuông góc với nó. Hướng đó chính là vectơ pháp tuyến.

1. Vectơ pháp tuyến

Vectơ $\vec{n}\ne\vec{0}$ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của nó vuông góc với $(P)$. Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, chúng đôi một cùng phương: nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến thì $k\vec{n}$ với $k\ne 0$ cũng vậy. Vì thế $(2;-3;1)$ và $(-4;6;-2)$ cùng chỉ một hướng pháp tuyến.

Nếu $(P)$ chứa hai vectơ không cùng phương $\vec{u}$ và $\vec{v}$ thì một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là tích có hướng $\vec{n}=\left[\vec{u},\vec{v}\right]$. Với $\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)$ và $\vec{v}=(v_1;v_2;v_3)$ thì $$\left[\vec{u},\vec{v}\right]=\left(u_2v_3-u_3v_2\ ;\ u_3v_1-u_1v_3\ ;\ u_1v_2-u_2v_1\right).$$

2. Phương trình tổng quát

Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận $\vec{n}=(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,$$ khai triển ra được dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2\gt 0$ và $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$.

Chiều ngược lại quan trọng không kém: nhìn một phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ là đọc ngay ra vectơ pháp tuyến $(A;B;C)$. Hằng số $D$ không tham gia vào vectơ pháp tuyến — nó chỉ tịnh tiến mặt phẳng, không đổi hướng của nó.

3. Ba cách lập phương trình mặt phẳng

Dữ kiện choCách làmKết quả
Một điểm $M_0$ và một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$Thay thẳng vào công thức$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàngLấy $\vec{n}=\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]$ rồi dùng điểm $A$Về lại trường hợp trên
Cắt ba trục tại $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $abc\ne 0$Dùng phương trình theo đoạn chắn$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Một biến thể hay gặp: mặt phẳng đi qua $M_0$ và song song với $(Q): Ax+By+Cz+D'=0$ thì giữ nguyên bộ $(A;B;C)$, chỉ tìm lại hằng số tự do bằng cách thay toạ độ $M_0$ vào.

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho $(P): A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(Q): A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$.

  • Song song hoặc trùng nhau khi $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ cùng phương, tức $\left[\vec{n_1},\vec{n_2}\right]=\vec{0}$. Khi các hệ số đều khác $0$, điều kiện song song là $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\ne\dfrac{D_1}{D_2}$; nếu tỉ số thứ tư cũng bằng thì hai mặt phẳng trùng nhau.
  • Vuông góc khi $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$, tức $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$.
  • Cắt nhau trong mọi trường hợp còn lại.

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Với $M(x_M;y_M;z_M)$ và $(P): Ax+By+Cz+D=0$ thì $$d\left(M,(P)\right)=\dfrac{\left|Ax_M+By_M+Cz_M+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

Hai chỗ hay hỏng: tử số phải lấy giá trị tuyệt đối và phải cộng cả hằng số $D$; mẫu số là căn bậc hai của tổng bình phương ba hệ số, không phải chính tổng đó. Đặc biệt, nếu $(P)$ và $(Q)$ song song thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của $(P)$ đến $(Q)$; muốn dùng công thức rút gọn $\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ thì bắt buộc phải đưa hai phương trình về cùng một bộ hệ số $(A;B;C)$ trước đã.

Ví dụ mẫu có lời chữa

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3;-1;2)$ và nhận $\vec{n}=(1;-2;4)$ làm vectơ pháp tuyến.
Bài này rơi đúng vào trường hợp cơ bản nhất: đã có sẵn một điểm và một vectơ pháp tuyến, chỉ việc thay vào công thức $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$. Với $A=1$, $B=-2$, $C=4$ và $M(3;-1;2)$ ta viết $1\cdot(x-3)-2\cdot\left(y-(-1)\right)+4\cdot(z-2)=0$, tức $(x-3)-2(y+1)+4(z-2)=0$. Khai triển: $x-3-2y-2+4z-8=0$, thu gọn được $x-2y+4z-13=0$. Kiểm tra lại bằng cách thay toạ độ $M$: $3-2\cdot(-1)+4\cdot 2-13=3+2+8-13=0$, đúng, nên $M$ thuộc $(P)$. Đồng thời hệ số của $x$, $y$, $z$ đúng bằng $(1;-2;4)$ nên vectơ pháp tuyến cũng đúng. Chỗ dễ sai duy nhất là dấu ở hạng tử $y$: vì $y_0=-1$ nên trong ngoặc phải là $y+1$, viết nhầm thành $y-1$ sẽ ra hằng số tự do $-9$ và mặt phẳng không còn đi qua $M$.
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;0;2)$, $B(2;1;0)$, $C(0;2;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.
Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng, nhưng công thức lập phương trình vẫn cần một vectơ pháp tuyến, nên bước đầu tiên là dựng hai vectơ nằm trong mặt phẳng rồi lấy tích có hướng. Ta có $\vec{AB}=(2-1;1-0;0-2)=(1;1;-2)$ và $\vec{AC}=(0-1;2-0;1-2)=(-1;2;-1)$. Tích có hướng: thành phần thứ nhất là $1\cdot(-1)-(-2)\cdot 2=-1+4=3$; thành phần thứ hai là $(-2)\cdot(-1)-1\cdot(-1)=2+1=3$; thành phần thứ ba là $1\cdot 2-1\cdot(-1)=2+1=3$. Vậy $\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]=(3;3;3)$, cùng phương với $(1;1;1)$ nên ta chọn luôn $\vec{n}=(1;1;1)$ cho gọn. Dùng điểm $A(1;0;2)$: $(x-1)+(y-0)+(z-2)=0$, tức $x+y+z-3=0$. Thử lại cả ba điểm: $A$ cho $1+0+2-3=0$; $B$ cho $2+1+0-3=0$; $C$ cho $0+2+1-3=0$. Cả ba đều thoả, phương trình đúng.
Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x-2y+z+3=0$ và điểm $M(1;-2;1)$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $(P)$, rồi viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M$ và song song với $(P)$.
Phần thứ nhất dùng thẳng công thức khoảng cách. Tử số: $\left|2\cdot 1-2\cdot(-2)+1+3\right|=\left|2+4+1+3\right|=10$. Mẫu số: $\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3$. Vậy $d\left(M,(P)\right)=\dfrac{10}{3}$. Lưu ý mẫu là căn bậc hai của $9$ chứ không phải $9$; quên dấu căn sẽ cho $\dfrac{10}{9}$, một kết quả sai rất phổ biến. Phần thứ hai: mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ nên dùng chung vectơ pháp tuyến $(2;-2;1)$, do đó $(Q)$ có dạng $2x-2y+z+m=0$. Thay $M(1;-2;1)$ vào: $2+4+1+m=0$, suy ra $m=-7$. Vậy $(Q): 2x-2y+z-7=0$. Cần kiểm tra $m=-7\ne 3$ để chắc chắn $(Q)$ khác $(P)$, nếu hai hằng số trùng nhau thì hai mặt phẳng trùng nhau chứ không song song. Có thể kiểm chéo bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: $\dfrac{\left|3-(-7)\right|}{3}=\dfrac{10}{3}$, đúng bằng khoảng cách vừa tính ở phần trên.

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp ở chương này

  • Nhầm vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương: thấy mặt phẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ liền lấy luôn $\vec{AB}$ làm vectơ pháp tuyến. Thực ra $\vec{AB}$ nằm trong mặt phẳng nên vuông góc với vectơ pháp tuyến, phải qua tích có hướng mới ra hướng pháp tuyến.
  • Đọc hằng số tự do $D$ vào vectơ pháp tuyến: từ $(P): 2x-3y+z-5=0$ ghi $\vec{n}=(2;-3;-5)$. Vectơ pháp tuyến chỉ gồm ba hệ số của $x$, $y$, $z$; $D$ quyết định vị trí chứ không quyết định hướng.
  • Quên chuẩn hoá dấu và hệ số khi so sánh hai mặt phẳng: kết luận $x-2y+3z-4=0$ và $-2x+4y-6z+8=0$ song song, trong khi nhân phương trình đầu với $-2$ ra đúng phương trình sau nên chúng trùng nhau. Phải so cả tỉ số hằng số tự do.
  • Quên trừ hằng số khi thay điểm: viết mặt phẳng qua $M(1;-2;3)$ với $\vec{n}=(3;1;-2)$ thành $3x+y-2z-5=0$ thay vì $3x+y-2z+5=0$, do đổi sai dấu khi chuyển $-(Ax_0+By_0+Cz_0)$ sang vế trái.
  • Tính khoảng cách mà bỏ dấu căn ở mẫu: lấy $\dfrac{|Ax_M+By_M+Cz_M+D|}{A^2+B^2+C^2}$. Mẫu số phải là $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$, tức độ dài của vectơ pháp tuyến.
  • Dùng công thức $\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ cho hai mặt phẳng song song mà chưa đưa về cùng bộ hệ số: với $x+2y-2z+1=0$ và $2x+4y-4z-16=0$ phải rút gọn phương trình sau thành $x+2y-2z-8=0$ rồi mới lấy hiệu hai hằng số.

17 câu bài tập của bài này

Vào làm bài tập →