Hệ toạ độ $Oxyz$ trong không gian gồm ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc, với ba vectơ đơn vị $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$. Toàn bộ chương này đứng trên một ý tưởng duy nhất: đổi hình học thành số. Mọi điểm, mọi vectơ đều được thay bằng một bộ ba số, và mọi câu hỏi hình học (dài bao nhiêu, vuông góc không, diện tích bằng mấy) đều trở thành một phép tính.
Điểm $M$ có toạ độ $(x;y;z)$ nghĩa là $\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Vectơ $\vec{a}$ có toạ độ $(a_1;a_2;a_3)$ nghĩa là $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$. Hai khái niệm này viết giống hệt nhau nhưng không cùng bản chất: điểm gắn với một vị trí, vectơ chỉ mang hướng và độ dài nên tịnh tiến đi đâu vẫn là chính nó.
Với $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$ thì $$\vec{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A\ ;\ z_B-z_A),$$ tức ngọn trừ gốc, không bao giờ ngược lại. Trung điểm $I$ của $AB$ có toạ độ trung bình cộng của hai đầu mút; trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ trung bình cộng của ba đỉnh.
| Phép toán | Công thức toạ độ | Dùng để làm gì |
|---|---|---|
| $\vec{a}\pm\vec{b}$ | $(a_1\pm b_1\ ;\ a_2\pm b_2\ ;\ a_3\pm b_3)$ | Cộng trừ vectơ, tìm điểm thứ tư của hình bình hành |
| $k\vec{a}$ | $(ka_1;ka_2;ka_3)$ | Rút gọn vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến |
| $\vec{a}\cdot\vec{b}$ (tích vô hướng) | $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ | Kiểm vuông góc, tính góc — kết quả là một số |
| $\left|\vec{a}\right|$ | $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ | Độ dài vectơ, độ dài đoạn thẳng |
| $\cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ | $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$ | Góc giữa hai vectơ, nhận giá trị trong $[-1;1]$ |
| $\left[\vec{a},\vec{b}\right]$ (tích có hướng) | $(a_2b_3-a_3b_2\ ;\ a_3b_1-a_1b_3\ ;\ a_1b_2-a_2b_1)$ | Dựng vectơ vuông góc với cả hai — kết quả là một vectơ |
Hai hệ quả dùng liên tục: $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ và $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}\Leftrightarrow\left[\vec{a},\vec{b}\right]=\vec{0}$.
Cách nhớ ít sai nhất là viết hai bộ số thành hai hàng rồi lần lượt che cột thứ nhất, cột thứ hai, cột thứ ba; mỗi lần che lấy tích chéo trừ tích chéo. Riêng thành phần giữa phải nhớ là $a_3b_1-a_1b_3$ (đảo thứ tự so với hai thành phần kia) — quên chỗ này là sai dấu thành phần thứ hai, lỗi phổ biến nhất của cả chương.
| Đại lượng | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Diện tích hình bình hành dựng trên $\vec{a}$, $\vec{b}$ | $\left|\left[\vec{a},\vec{b}\right]\right|$ | Không chia cho $2$ |
| Diện tích tam giác $ABC$ | $\dfrac{1}{2}\left|\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\right|$ | Chia $2$ |
| Thể tích khối hộp dựng trên $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ | $\left|\left[\vec{a},\vec{b}\right]\cdot\vec{c}\right|$ | Không chia |
| Thể tích khối tứ diện $ABCD$ | $\dfrac{1}{6}\left|\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\cdot\vec{AD}\right|$ | Chia $6$, không phải $3$ |
Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $$\left[\vec{a},\vec{b}\right]\cdot\vec{c}=0.$$ Số $\left[\vec{a},\vec{b}\right]\cdot\vec{c}$ gọi là tích hỗn tạp; về ý nghĩa nó chính là thể tích khối hộp có dấu, nên bằng $0$ đúng lúc khối hộp bị bẹp thành hình phẳng. Từ đó: bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\cdot\vec{AD}=0$; ngược lại, khác $0$ thì bốn điểm tạo thành một tứ diện thật sự và thể tích của nó bằng một phần sáu giá trị tuyệt đối đó.