Tích phân dùng để đo hai thứ khác nhau và rất dễ lẫn: diện tích của một miền phẳng dùng $\displaystyle\int f(x)\,dx$, còn thể tích của khối tròn xoay dùng $\displaystyle\pi\int f^2(x)\,dx$. Chỉ cần quên bình phương hoặc quên $\pi$ là ra một con số vẫn “đẹp” nhưng sai hẳn về ý nghĩa.
Cắt khối tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại hoành độ $x$. Vì khối sinh ra do quay quanh $Ox$ nên thiết diện đúng là một hình tròn bán kính bằng khoảng cách từ đồ thị tới trục, tức $R=|f(x)|$. Diện tích thiết diện là $S(x)=\pi f^2(x)$. Cộng dồn mọi lát cắt mỏng bề dày $dx$ từ $a$ tới $b$:
$$V=\int_a^b S(x)\,dx=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx.$$Ghi nhớ theo lối này thì không bao giờ quên bình phương: bình phương đến từ công thức diện tích hình tròn $\pi R^2$, chứ không phải một quy ước phải học thuộc.
| Bài toán | Công thức | Điều kiện dùng được |
|---|---|---|
| Quay quanh $Ox$ miền giữa $y=f(x)$ và trục hoành | $V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ | $f$ liên tục trên $[a;b]$; $a$, $b$ là hoành độ hai mép của miền |
| Quay quanh $Ox$ miền giữa hai đồ thị | $V=\pi\displaystyle\int_a^b\left|f^2(x)-g^2(x)\right|dx$ | hai đồ thị không cắt nhau trong $(a;b)$ và cùng một phía của trục quay |
| Quay quanh $Oy$ | $V=\pi\displaystyle\int_c^d x^2(y)\,dy$ | phải viết được $x$ theo $y$; cận là tung độ, không phải hoành độ |
| Vật thể có thiết diện $S(x)$ cho trước | $V=\displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$ | thiết diện vuông góc với $Ox$; không nhân thêm $\pi$ nếu $S$ đã là diện tích |
Công thức thứ hai là công thức vành khăn: mỗi lát cắt là một hình vành khăn có bán kính ngoài $|f|$ và bán kính trong $|g|$, diện tích $\pi\left(f^2-g^2\right)$. Đây là chỗ sai nhiều nhất của cả chương, vì rất nhiều học sinh viết $\pi\displaystyle\int (f-g)^2dx$ — đó là bình phương của hiệu, không phải hiệu của hai bình phương, và hai thứ này khác nhau ở số hạng $2fg$.
Nếu trên $[a;b]$ hàm số được cho bằng hai công thức khác nhau, nối nhau tại $x=c$, thì phải tách cận theo đúng chỗ nối:
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$$Tính chất tách cận này đúng với mọi $c$ nằm giữa $a$ và $b$, nhưng chỉ có một giá trị $c$ giúp ta thay được công thức tường minh vào mỗi tích phân — đó là điểm nối. Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc đầu tiên phải làm là xét dấu biểu thức bên trong để biết tách ở đâu:
$$\int_0^2\left|x^2-1\right|dx=\int_0^1\left(1-x^2\right)dx+\int_1^2\left(x^2-1\right)dx.$$Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chỉ giữ nguyên biểu thức bên trong là lỗi nặng: phần trên đoạn $[0;1]$ khi đó bị tính thành số âm và triệt tiêu bớt phần dương, cho kết quả nhỏ hơn giá trị đúng.
Miền $D$ bị chặn bởi đồ thị và trục hoành nên hai cận là hai hoành độ giao điểm:
$$2x-x^2=0\iff x(2-x)=0\iff x=0\ \text{hoặc}\ x=2.$$Trên $(0;2)$ ta có $2x-x^2\gt 0$ nên miền nằm phía trên trục hoành, đúng một mảnh liền.
Quay quanh $Ox$ nên mỗi lát cắt là hình tròn bán kính $\left|2x-x^2\right|$:
$$V=\pi\int_0^2\left(2x-x^2\right)^2dx=\pi\int_0^2\left(4x^2-4x^3+x^4\right)dx.$$Khai triển trước rồi mới lấy nguyên hàm là cách an toàn nhất; nhảy cóc bằng cách lấy nguyên hàm của $\left(2x-x^2\right)^2$ theo lối hàm hợp là sai vì đạo hàm bên trong không phải hằng số.
Quy đồng mẫu $15$: $\dfrac{160}{15}-\dfrac{240}{15}+\dfrac{96}{15}=\dfrac{16}{15}$.
Thể tích khối tròn xoay bằng $V=\dfrac{16\pi}{15}$ (đơn vị thể tích).
Đổi biến $u=x-1$ để dùng tính đối xứng: khi đó $2x-x^2=1-(x-1)^2=1-u^2$ và $u$ chạy từ $-1$ tới $1$. Ta được
$$V=\pi\int_{-1}^{1}\left(1-u^2\right)^2du=2\pi\int_0^1\left(1-2u^2+u^4\right)du=2\pi\left(1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}\right)=2\pi\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{16\pi}{15}.$$Hai đường khác hẳn nhau cho cùng một số, nên kết quả đáng tin. Kiểm thêm bằng cỡ độ lớn: khối nằm gọn trong hình trụ bán kính $1$, dài $2$, thể tích $2\pi$; mà $\dfrac{16\pi}{15}\approx 1{,}07\pi$ đúng là nhỏ hơn $2\pi$ và lớn hơn không đáng kể so với một nửa — hợp lý với hình dạng thon hai đầu.
Bẫy thứ nhất là quên bình phương, tính $\pi\displaystyle\int_0^2\left(2x-x^2\right)dx=\dfrac{4\pi}{3}$ — đó là diện tích nhân $\pi$, không có ý nghĩa hình học nào. Bẫy thứ hai là lấy cận $[0;1]$ vì thấy đỉnh parabol ở $x=1$, làm mất đúng một nửa khối. Bẫy thứ ba là viết $\left(2x-x^2\right)^2=4x^2+x^4$, tức quên số hạng chéo $-4x^3$; khi đó kết quả ra $\dfrac{32\pi}{3}\cdot\dfrac{1}{1}$ sai lệch hẳn.
Trên khoảng $(0;2)$, thử $x=1$ được $2\cdot 1=2$ và $1^2=1$, nên đường thẳng nằm trên parabol. Cả hai đường đều không âm trên đoạn này nên chúng cùng một phía của trục quay — điều kiện dùng công thức vành khăn được thoả.
Mỗi lát cắt là một hình vành khăn: bán kính ngoài $R=2x$, bán kính trong $r=x^2$. Diện tích lát cắt là $\pi\left(R^2-r^2\right)$, do đó
$$V=\pi\int_0^2\left[(2x)^2-\left(x^2\right)^2\right]dx=\pi\int_0^2\left(4x^2-x^4\right)dx.$$Thể tích cần tìm là $V=\dfrac{64\pi}{15}$.
Tính riêng hai khối rồi trừ. Khối sinh bởi đường thẳng: $V_1=\pi\displaystyle\int_0^2 4x^2dx=\dfrac{32\pi}{3}$ — đây đúng là khối nón bán kính đáy $4$, chiều cao $2$, thể tích $\dfrac{1}{3}\pi\cdot 4^2\cdot 2=\dfrac{32\pi}{3}$, khớp với công thức hình học đã biết. Khối sinh bởi parabol: $V_2=\pi\displaystyle\int_0^2 x^4dx=\dfrac{32\pi}{5}$. Hiệu $V_1-V_2=32\pi\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{64\pi}{15}$, trùng kết quả trên. Việc khối nón cho đúng công thức hình học sơ cấp là một bằng chứng độc lập rằng cách đặt tích phân không sai.
Bẫy nặng nhất là viết $V=\pi\displaystyle\int_0^2\left(2x-x^2\right)^2dx$, tức bình phương của hiệu thay cho hiệu của hai bình phương; kết quả ra $\dfrac{16\pi}{15}$, nhỏ hơn đáp số đúng đúng bốn lần. Bẫy thứ hai là lấy nhầm đường trong – đường ngoài, viết $\pi\displaystyle\int_0^2\left(x^4-4x^2\right)dx=-\dfrac{64\pi}{15}$: thể tích âm là dấu hiệu đã đảo vai trò. Bẫy thứ ba là dùng công thức diện tích $\displaystyle\int_0^2\left(2x-x^2\right)dx=\dfrac{4}{3}$ rồi nhân $\pi$.
Trên đoạn $[0;3]$ hàm số được cho bằng hai công thức khác nhau, ranh giới là $x=1$. Vì vậy phải dùng tính chất tách cận đúng tại điểm nối:
$$I=\int_0^1(2x+1)\,dx+\int_1^3\left(4-x^2\right)dx.$$Kiểm nhanh tính liên tục để yên tâm: nhánh trái tại $x=1$ cho $2\cdot 1+1=3$, nhánh phải cũng cho $4-1^2=3$, hai giá trị bằng nhau nên đồ thị nối liền và hàm khả tích trên cả đoạn.
Kiểm bằng hình học: miền này là hình thang vuông có hai đáy $f(0)=1$, $f(1)=3$ và chiều cao $1$, diện tích $\dfrac{(1+3)\cdot 1}{2}=2$. Trùng khớp.
Kết quả âm là hợp lý chứ không phải dấu hiệu sai: trên $(2;3)$ ta có $4-x^2\lt 0$ nên phần đó đóng góp một lượng âm, và nó lớn hơn phần dương còn lại trên $(1;2)$.
Tính riêng từng mảnh của tích phân thứ hai rồi ghép: $\displaystyle\int_1^2\left(4-x^2\right)dx=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(4-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{16}{3}-\dfrac{11}{3}=\dfrac{5}{3}$ và $\displaystyle\int_2^3\left(4-x^2\right)dx=\left(12-9\right)-\left(8-\dfrac{8}{3}\right)=3-\dfrac{16}{3}=-\dfrac{7}{3}$. Cộng lại được $\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}=-\dfrac{2}{3}$, đúng bằng kết quả ở Bước 3, nên $I=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$.
Bẫy thứ nhất là dùng một biểu thức cho cả đoạn: lấy $\displaystyle\int_0^3(2x+1)dx=12$ hoặc $\displaystyle\int_0^3\left(4-x^2\right)dx=3$ đều bỏ mất một nửa dữ kiện. Bẫy thứ hai là tách đúng nhưng đặt sai cận, viết $\displaystyle\int_0^1$ cho nhánh dưới rồi lại viết $\displaystyle\int_0^3$ cho nhánh trên, tức đếm đoạn $[0;1]$ hai lần. Bẫy thứ ba là thấy kết quả $-\dfrac{2}{3}$ rồi đổi dấu cho “đẹp”, cho ra $\dfrac{8}{3}$: tích phân không phải diện tích, nó được phép âm.