Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$ trên đoạn đó. Tích phân của $f$ từ $a$ đến $b$ được định nghĩa bởi
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(x)\Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Kết quả này không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm nào: nếu thay $F$ bằng $F+C$ thì hiệu $\big(F(b)+C\big)-\big(F(a)+C\big)$ vẫn bằng $F(b)-F(a)$. Đó là lý do khi tính tích phân ta không viết hằng số $C$ — khác hẳn khi tìm nguyên hàm. Tích phân là một số, còn nguyên hàm là một họ hàm số; nhầm hai đối tượng này là gốc của rất nhiều lỗi.
| Tính chất | Phát biểu | Điều kiện |
|---|---|---|
| Cận trùng nhau | $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0$ | $f$ liên tục tại $a$ |
| Đổi cận | $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx$ | |
| Tuyến tính | $\displaystyle\int_{a}^{b}\big[\alpha f(x)+\beta g(x)\big]dx=\alpha\int_{a}^{b} f+\beta\int_{a}^{b} g$ | $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ |
| Tách cận | $\displaystyle\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f$ | $f$ liên tục trên đoạn chứa $a,b,c$ |
| Bảo toàn dấu | Nếu $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\ge 0$ | $a\lt b$ |
Với phép đặt $u=u(x)$, ta có
$$\int_{a}^{b} f\big(u(x)\big)u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,du.$$
Điểm khác biệt lớn nhất so với nguyên hàm: khi đổi sang biến $u$ thì cận phải đổi theo. Cận mới là $u(a)$ và $u(b)$, không phải $a$ và $b$. Nếu giữ nguyên cận cũ, ta đang tính một tích phân hoàn toàn khác mà không có gì báo lỗi. Cách tránh: hoặc đổi cận ngay lúc đặt biến, hoặc tìm nguyên hàm theo biến $x$ cho xong rồi mới thay cận gốc.
$$\int_{a}^{b} u\,dv=uv\Big|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v\,du.$$
Cách chọn $u$ giống hệt phần nguyên hàm (ưu tiên lô – đa – lượng – mũ), chỉ thêm việc thay cận cho cụm $uv$.
a) Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $a\lt b$) có diện tích
$$S=\int_{a}^{b}\big|f(x)\big|\,dx.$$
Dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc, vì diện tích không âm còn tích phân thì có thể âm. Cách làm chuẩn: giải $f(x)=0$ để tìm các nghiệm nằm trong $(a;b)$, chia $[a;b]$ thành các đoạn con mà trên mỗi đoạn $f$ giữ nguyên dấu, tính tích phân trên từng đoạn rồi cộng các giá trị tuyệt đối lại.
b) Hình giới hạn bởi hai đường cong. Hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên $[a;b]$ có diện tích
$$S=\int_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Khi $a$, $b$ là hai hoành độ giao điểm liên tiếp thì trên khoảng giữa chúng hiệu $f-g$ không đổi dấu, nên chỉ cần xác định đường nào nằm trên rồi lấy trên trừ dưới là bỏ được dấu giá trị tuyệt đối.
Cho hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quay quanh trục $Ox$. Khối tròn xoay tạo thành có thể tích
$$V=\pi\int_{a}^{b} f^{2}(x)\,dx.$$
Ba chi tiết phải nhớ đủ: có hệ số $\pi$, hàm được bình phương, và vì $f^{2}(x)\ge 0$ nên ở đây không cần dấu giá trị tuyệt đối. Nếu khối được giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ (ngoài) và $y=g(x)$ (trong), cùng dấu và $|f|\ge|g|$ trên $[a;b]$, thì $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\big[f^{2}(x)-g^{2}(x)\big]dx$ — trừ bình phương, không phải bình phương của hiệu.
Ngoài ra, thể tích vật thể có thiết diện vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x$ với diện tích $S(x)$ là $V=\displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx$; công thức khối tròn xoay chỉ là trường hợp riêng với $S(x)=\pi f^{2}(x)$.
Hàm dưới dấu tích phân là một đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, nên áp dụng trực tiếp công thức Newton – Leibniz sau khi tìm một nguyên hàm.
Tìm một nguyên hàm: $F(x)=\displaystyle\int\left(3x^{2}+4x-1\right)dx=x^{3}+2x^{2}-x$. Ở đây ta chọn hằng số bằng $0$ vì kết quả tích phân không phụ thuộc việc chọn hằng số nào.
Thay cận: $I=F(2)-F(0)$. Ta có $F(2)=2^{3}+2\cdot 2^{2}-2=8+8-2=14$ và $F(0)=0$. Vậy $I=14-0=14$.
Lưu ý hai chỗ dễ sai: không được viết thêm $+C$ vào kết quả tích phân, vì tích phân là một số cụ thể; và phải trừ theo đúng thứ tự giá trị tại cận trên trừ giá trị tại cận dưới, đảo lại sẽ ra số đối.
Trước hết tìm các cận. Hình phẳng giới hạn bởi một parabol và trục hoành có hai cận chính là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-3x=0$, tức $x(x-3)=0$, cho $x=0$ và $x=3$.
Xét dấu trên khoảng $(0;3)$: parabol có hệ số $a=1\gt 0$ nên nằm dưới trục hoành ở giữa hai nghiệm, tức $x^{2}-3x\lt 0$ trên $(0;3)$. Do đó $\left|x^{2}-3x\right|=3x-x^{2}$ trên đoạn này.
Tính diện tích: $S=\displaystyle\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left(\dfrac{3x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{0}^{3}=\left(\dfrac{27}{2}-9\right)-0=\dfrac{27-18}{2}=\dfrac{9}{2}$.
Vậy $S=\dfrac{9}{2}$ (đơn vị diện tích). Nếu quên trị tuyệt đối và tính thẳng $\displaystyle\int_{0}^{3}\left(x^{2}-3x\right)dx$ thì được $-\dfrac{9}{2}$, một số âm — dấu hiệu rõ ràng rằng bước xét dấu đã bị bỏ qua, vì diện tích không bao giờ âm.
Bài cho đủ bốn đường giới hạn và trục quay là $Ox$, nên dùng thẳng công thức $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b} f^{2}(x)\,dx$ với $f(x)=x+1$, $a=0$, $b=2$.
Bình phương hàm số trước khi lấy tích phân: $f^{2}(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$. Đây là bước hay bị bỏ sót nhất; quên bình phương là tính ra diện tích chứ không phải thể tích.
Tính tích phân: $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x^{2}+2x+1\right)dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right)\Big|_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}+4+2-0=\dfrac{8+18}{3}=\dfrac{26}{3}$.
Nhân với $\pi$: $V=\dfrac{26\pi}{3}$ (đơn vị thể tích).
Có thể kiểm chứng bằng hình học: hình phẳng là một hình thang vuông, khi quay quanh $Ox$ cho khối nón cụt bán kính đáy $1$ và $3$, chiều cao $2$. Thể tích nón cụt bằng $\dfrac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}\left(9+3+1\right)=\dfrac{26\pi}{3}$, trùng khớp.