Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F$ được gọi là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Như vậy tìm nguyên hàm là làm ngược phép lấy đạo hàm: ta đi tìm hàm mà đạo hàm của nó bằng hàm đã cho.
Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f$ trên $K$ đều có dạng $F(x)+C$ với $C$ là hằng số. Ta viết $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ và gọi đó là họ nguyên hàm của $f$. Hằng số $C$ không phải chi tiết trang trí: thiếu $C$ là bài làm thiếu vô số nghiệm, và mọi câu hỏi kiểu «tìm $F$ biết $F(x_0)=m$» đều giải được nhờ chính hằng số này.
| Hàm số $f(x)$ | Họ nguyên hàm $\displaystyle\int f(x)\,dx$ | Điều kiện |
|---|---|---|
| $k$ (hằng số) | $kx+C$ | $k\in\mathbb{R}$ |
| $x^{n}$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ | $n\ne -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+C$ | $x\ne 0$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+C$ | |
| $a^{x}$ | $\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$ | $a\gt 0,\ a\ne 1$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ | |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ | |
| $\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ | $\tan x+C$ | $x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ |
| $\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ | $-\cot x+C$ | $x\ne k\pi$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}+C$ | $x\gt 0$ |
Ba dòng hay bị nhớ nhầm nhất: nguyên hàm của $\sin x$ mang dấu trừ, nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ cũng mang dấu trừ, còn $\dfrac{1}{x}$ cho $\ln|x|$ chứ không cho $\dfrac{x^{0}}{0}$ — công thức luỹ thừa bị loại trừ đúng ở $n=-1$.
Với $f,g$ có nguyên hàm trên $K$ và $k$ là hằng số khác $0$:
Lưu ý nguyên hàm không có tính chất nhân và chia: $\displaystyle\int f(x)g(x)\,dx$ khác $\displaystyle\int f(x)\,dx\cdot\int g(x)\,dx$. Gặp tích thì phải đổi biến hoặc lấy từng phần.
Nếu $\displaystyle\int f(u)\,du=F(u)+C$ và $u=u(x)$ có đạo hàm liên tục thì
$$\int f\big(u(x)\big)\,u'(x)\,dx=F\big(u(x)\big)+C.$$
Dấu hiệu nhận ra: trong biểu thức có một cụm $u(x)$ và đạo hàm của nó (sai khác một hằng số) đứng nhân bên ngoài. Hai hệ quả dùng gần như mỗi ngày, với $a\ne 0$:
Hệ số $\dfrac{1}{a}$ chính là chỗ mất điểm phổ biến nhất của cả chương: đổi biến xong quên nhân bù.
Với $u,v$ có đạo hàm liên tục trên $K$:
$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$
Cách chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên quen thuộc lô – đa – lượng – mũ: gặp $\ln$ thì chọn $u=\ln$; không có $\ln$ mà có đa thức thì chọn $u$ là đa thức, phần còn lại ($\sin$, $\cos$, $e^{x}$) làm $dv$. Mục đích của phép chọn là để tích phân mới $\displaystyle\int v\,du$ dễ hơn tích phân ban đầu; nếu nó khó hơn thì ta đã chọn ngược.
Ví dụ khung mẫu: với $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx$ ta đặt $u=x$, $dv=e^{x}dx$, suy ra $du=dx$, $v=e^{x}$, và $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx=x e^{x}-\int e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C$.
Hàm đã cho là tổng của ba hạng tử sơ cấp, nên ta dùng tính chất tuyến tính rồi tra bảng cho từng hạng tử.
Với $6x^{2}$: áp dụng $\displaystyle\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ với $n=2$, ta được $\displaystyle\int 6x^{2}dx=6\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=2x^{3}$.
Với $-\dfrac{4}{x}$: trên khoảng $(0;+\infty)$ thì $x\gt 0$ nên $\ln|x|=\ln x$, do đó $\displaystyle\int \dfrac{4}{x}dx=4\ln x$ và hạng tử này đóng góp $-4\ln x$.
Với $\sin x$: nhớ dấu trừ, $\displaystyle\int \sin x\,dx=-\cos x$.
Cộng lại và gộp mọi hằng số thành một hằng số $C$ duy nhất: $\displaystyle\int f(x)\,dx=2x^{3}-4\ln x-\cos x+C$.
Thử lại bằng đạo hàm: $\left(2x^{3}-4\ln x-\cos x+C\right)'=6x^{2}-\dfrac{4}{x}+\sin x$, đúng bằng $f(x)$. Bước thử lại này chỉ tốn vài giây nhưng bắt được gần hết lỗi sai dấu và lỗi quên chia hệ số.
Nhìn vào biểu thức, mẫu là $u(x)=3x^{2}+2$ và tử là $6x$. Ta có $u'(x)=6x$, đúng bằng tử số. Đây là dấu hiệu kinh điển của dạng $\displaystyle\int\dfrac{u'(x)}{u(x)}dx$, giải bằng đổi biến.
Đặt $u=3x^{2}+2$ thì $du=6x\,dx$. Thay vào, tích phân trở thành $\displaystyle\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+C$.
Trả lại biến $x$: $\displaystyle\int\dfrac{6x}{3x^{2}+2}dx=\ln\left|3x^{2}+2\right|+C$. Vì $3x^{2}+2\ge 2\gt 0$ với mọi $x$, dấu giá trị tuyệt đối có thể bỏ, viết gọn là $\ln\left(3x^{2}+2\right)+C$.
Thử lại: $\left[\ln(3x^{2}+2)\right]'=\dfrac{6x}{3x^{2}+2}$, đúng. Nếu tử không phải $6x$ mà là $2x$ thì ta phải nhân bù: $\displaystyle\int\dfrac{2x}{3x^{2}+2}dx=\dfrac{1}{3}\ln(3x^{2}+2)+C$ — hệ số bù $\dfrac{1}{3}$ chính là chỗ hay mất điểm.
Biểu thức là tích của một đa thức bậc nhất với một hàm lượng giác, không có $\ln$, nên theo thứ tự ưu tiên ta chọn phần đa thức làm $u$.
Đặt $u=2x+3$ và $dv=\cos x\,dx$. Khi đó $du=2\,dx$ và $v=\sin x$.
Áp dụng công thức $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$:
$$\int (2x+3)\cos x\,dx=(2x+3)\sin x-\int 2\sin x\,dx.$$
Tích phân còn lại đã là hàm sơ cấp: $\displaystyle\int 2\sin x\,dx=-2\cos x$. Do đó kết quả là $(2x+3)\sin x+2\cos x+C$.
Thử lại bằng đạo hàm: $\left[(2x+3)\sin x+2\cos x\right]'=2\sin x+(2x+3)\cos x-2\sin x=(2x+3)\cos x$. Hai số hạng $2\sin x$ triệt tiêu nhau, đúng bằng $f(x)$. Nếu chọn ngược ($u=\cos x$, $dv=(2x+3)dx$) thì tích phân mới chứa $x^{2}\sin x$, khó hơn bài ban đầu — đó là dấu hiệu ta đã chọn sai vai.