Chương này không cho công thức của hàm số. Đề đưa ra một hình — đồ thị hoặc bảng biến thiên — rồi hỏi ngược lại về hàm số. Kỹ năng cần luyện là đọc, không phải tính: mỗi nét trên hình tương ứng với đúng một dòng chữ trong lời giải, và ngược lại.
Đề cho sẵn một trong ba thứ, và mỗi thứ trả lời được những câu hỏi khác nhau:
| Đề cho | Đọc thẳng ra được | Phải suy thêm một bước |
|---|---|---|
| Đồ thị $y=f(x)$ | giá trị $f$ tại một điểm, dấu của $f$, số giao điểm với $y=m$ | khoảng đơn điệu, cực trị, GTLN–GTNN |
| Bảng biến thiên của $f$ | khoảng đơn điệu, cực trị, giới hạn ở hai đầu, tiệm cận | số nghiệm của $f(x)=m$, GTLN–GTNN trên đoạn |
| Đồ thị $y=f'(x)$ | dấu của $f'$, nghiệm của $f'(x)=0$ | khoảng đơn điệu và cực trị của $f$, so sánh $f(a)$ với $f(b)$ |
Việc đầu tiên khi nhìn hình là đọc tên trục tung: đang vẽ $f$ hay $f'$? Nhầm chỗ này thì mọi kết luận sau đó đều sai mà vẫn trông rất hợp lý.
Phương trình $f(x)=m$ có nghiệm là hoành độ giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y=m$. Vì thế bài toán “tìm $m$ để phương trình có $k$ nghiệm” chỉ là bài toán “kéo đường ngang lên xuống và đếm điểm cắt”.
Với hàm bậc ba có cực đại $y_{\text{CĐ}}$ và cực tiểu $y_{\text{CT}}$:
Mọi phương trình dạng $af(x)+b=0$ đều đưa được về khuôn này bằng một phép chuyển vế: $f(x)=-\dfrac{b}{a}$. Đừng đi tìm nghiệm, chỉ cần tính con số $-\dfrac{b}{a}$ rồi so nó với hai giá trị cực trị.
Bảng biến thiên là bản tóm tắt của đồ thị: dòng $f'(x)$ cho dấu đạo hàm, dòng $f(x)$ cho chiều mũi tên và các giá trị mốc. Đọc bảng nhanh hơn đọc đồ thị ở ba việc: xác định giới hạn tại vô cực, phát hiện tiệm cận đứng (chỗ giá trị bật lên $\pm\infty$ tại một số hữu hạn), và tra giá trị cực trị chính xác thay vì ước lượng bằng mắt.
Hai chữ dễ lẫn nhất của cả chương: điểm cực đại của hàm số là $x=-1$ (một hoành độ), còn giá trị cực đại là $3$ (một tung độ); điểm cực đại của đồ thị mới là cặp $(-1;3)$. Đề hỏi chữ nào thì trả lời chữ đó.
Đây là dạng mà học sinh mất điểm nhiều nhất vì phản xạ sai: nhìn thấy đồ thị đi xuống liền kết luận hàm số nghịch biến. Nhưng khi đề vẽ $f'$ thì độ cao của nét vẽ không có ý nghĩa gì cả, chỉ có dấu mới có nghĩa:
Quy tắc gọn: $f'$ cắt trục hoành đi từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu của $f$; cắt đi từ trên xuống thì đó là điểm cực đại của $f$.
Muốn so sánh hai giá trị $f(a)$ và $f(b)$ khi chỉ có đồ thị $f'$: dùng $f(b)-f(a)=\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx$, tức là so diện tích phần nằm trên trục hoành với phần nằm dưới trên đoạn $[a;b]$.
Bốn quy tắc trên chỉ đúng trong những điều kiện sau, bỏ qua chúng là ra đáp số sai mà không thấy vô lý ở đâu.
Phương trình có chứa $f(x)$ nhưng chưa ở dạng đếm được. Chuyển vế và chia hai vế cho $2$:
$$2f(x)+3=0\iff f(x)=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5.$$Vậy việc cần làm là đếm số giao điểm của đồ thị đã cho với đường thẳng nằm ngang $y=-1{,}5$.
Đồ thị có một điểm cực đại là $(0;-1)$ và hai điểm cực tiểu là $(-1;-2)$ và $(1;-2)$. Giá trị cực đại bằng $-1$, giá trị cực tiểu bằng $-2$. Hai nhánh ngoài cùng đều đi lên vô cực.
Ta có $-2\lt -1{,}5\lt -1$, tức đường thẳng $y=-1{,}5$ nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại. Với đồ thị hình chữ W như thế này, đường ngang ở khoảng giữa cắt đồ thị tại bốn điểm: hai điểm ở hai nhánh ngoài đi lên và hai điểm ở hai sườn của cái bướu giữa.
Phương trình $2f(x)+3=0$ có đúng $4$ nghiệm thực phân biệt.
Nhìn hình cho biết hàm số là hàm trùng phương $f(x)=x^4-2x^2-1$ (thử lại: $f(0)=-1$, $f(\pm 1)=-2$, đúng ba điểm cực trị trên hình). Giải bằng đại số:
$$x^4-2x^2-1=-1{,}5\iff x^4-2x^2+0{,}5=0.$$Đặt $t=x^2\ge 0$ được $t^2-2t+0{,}5=0$, có $\Delta'=1-0{,}5=0{,}5\gt 0$ nên $t=1\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$. Cả hai giá trị này đều dương, mỗi giá trị $t\gt 0$ cho hai giá trị $x=\pm\sqrt{t}$, tổng cộng $4$ nghiệm — trùng với kết quả đếm bằng hình.
Bẫy thứ nhất là quên chia cho $2$, đi đếm giao điểm với $y=-3$: đường này nằm dưới cả hai cực tiểu nên không cắt đồ thị, cho đáp số $0$ nghiệm. Bẫy thứ hai là đếm $2$ nghiệm vì chỉ nhìn nửa bên phải rồi nhân đôi không hết. Bẫy thứ ba là đếm $3$ nghiệm do lấy nhầm mức $y=-1$ đúng bằng giá trị cực đại.
Bảng cho biết: khi $x\to-\infty$ thì $g(x)\to+\infty$; hàm nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đạt cực tiểu $g(0)=-1$; đồng biến trên $(0;2)$, đạt cực đại $g(2)=3$; rồi nghịch biến trên $(2;+\infty)$ với $g(x)\to-\infty$. Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên đồ thị là một nét liền.
Trên mỗi khoảng đơn điệu, đường ngang cắt đồ thị nhiều nhất một lần. Ba khoảng đơn điệu cho tối đa ba nghiệm, và đủ ba nghiệm khi và chỉ khi đường ngang cắt được cả ba nhánh:
Điều kiện là $-1\lt m\lt 3$. Các số nguyên thoả mãn là $0$, $1$, $2$ — đúng ba giá trị. Hai đầu mút $m=-1$ và $m=3$ bị loại vì tại đó đường ngang đi qua đúng một điểm cực trị nên chỉ còn hai nghiệm.
Có $3$ giá trị nguyên của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Thay vì lập bảng, đếm trực tiếp số nguyên nằm hẳn trong khoảng mở $(-1;3)$: khoảng này dài $4$ đơn vị và hai đầu mút đều là số nguyên bị loại, nên số nguyên bên trong là $4-1=3$. Kiểm thêm một giá trị cụ thể: với $m=2$, đường ngang $y=2$ nằm dưới đỉnh $3$ và trên đáy $-1$ nên cắt nhánh giảm đầu tiên một lần, nhánh tăng một lần, nhánh giảm cuối một lần — đúng ba nghiệm.
Bẫy hay gặp nhất là lấy cả hai đầu mút, trả lời $5$ giá trị $\{-1;0;1;2;3\}$. Bẫy thứ hai là đọc nhầm bảng theo chiều ngược: thấy dòng $g'$ bắt đầu bằng dấu $-$ mà tưởng hàm đi lên, dẫn tới kết luận cực đại ở $x=0$. Bẫy thứ ba là trả lời $4$ vì tính luôn $m=3$ với lý do “vẫn cắt được ba nhánh”, trong khi tại $m=3$ hai giao điểm trùng nhau tại đỉnh.
Trục tung ghi $y=f'(x)$. Vì vậy mọi kết luận về chiều biến thiên của $f$ phải rút ra từ dấu của nét vẽ so với trục hoành, tuyệt đối không rút ra từ việc nét vẽ đi lên hay đi xuống.
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm $x=-1$, $x=1$, $x=3$ và đổi dấu ở cả ba chỗ:
Điểm cực tiểu của $f$ là nơi $f'$ đổi dấu từ âm sang dương, tức là nơi đồ thị $f'$ cắt trục hoành theo hướng từ dưới lên. Trên hình có hai chỗ như vậy: $x=-1$ và $x=3$. Tại $x=1$ thì $f'$ đổi từ dương sang âm nên đó là điểm cực đại.
Hàm số $y=f(x)$ có đúng $2$ điểm cực tiểu, đạt tại $x=-1$ và $x=3$; ngoài ra còn một điểm cực đại tại $x=1$.
Hình cho thấy $f'$ là một hàm bậc ba có ba nghiệm đơn, chẳng hạn $f'(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)(x-1)(x-3)$. Thử một điểm trong mỗi khoảng: $f'(-2)=\dfrac{1}{2}(-1)(-3)(-5)=-7{,}5\lt 0$; $f'(0)=\dfrac{1}{2}(1)(-1)(-3)=1{,}5\gt 0$; $f'(2)=\dfrac{1}{2}(3)(1)(-1)=-1{,}5\lt 0$; $f'(4)=\dfrac{1}{2}(5)(3)(1)=7{,}5\gt 0$. Dãy dấu $-\,+\,-\,+$ trùng khớp với bảng ở Bước 2, nên số lần đổi dấu từ $-$ sang $+$ đúng bằng hai.
Bẫy nặng nhất là đọc hình như đồ thị của $f$: khi đó thấy hình có hai chỗ trũng và một chỗ nhô nên vẫn nói “hai cực tiểu”, đúng đáp số nhưng sai hoàn toàn về lập luận, và sẽ sai ngay ở đề khác. Bẫy thứ hai là trả lời $3$ vì đếm luôn số giao điểm với trục hoành, quên rằng một trong ba giao điểm ứng với cực đại. Bẫy thứ ba là trả lời $1$ do chỉ xét khoảng nhìn thấy trên hình và bỏ qua nhánh $x\gt 3$.