Rất nhiều câu hỏi của đời sống có cùng một dạng: chọn giá trị nào để một đại lượng đạt lớn nhất hoặc nhỏ nhất — thùng nào tốn ít vật liệu nhất, giá bán nào cho doanh thu cao nhất, kích thước nào cho diện tích rộng nhất. Khi đại lượng cần tối ưu viết được thành một hàm số của một biến, việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó trên một miền cho trước chính là lời giải. Ngoài ra, đạo hàm còn mang ý nghĩa tốc độ biến thiên, nên nó trả lời trực tiếp các câu hỏi về vận tốc, gia tốc và chi phí biên.
| Đại lượng thực tế | Mô hình toán | Ý nghĩa của đạo hàm |
|---|---|---|
| Quãng đường $s(t)$ | hàm theo thời gian | $v(t)=s'(t)$ là vận tốc tức thời |
| Vận tốc $v(t)$ | hàm theo thời gian | $a(t)=v'(t)=s''(t)$ là gia tốc |
| Chi phí $C(x)$ khi sản xuất $x$ đơn vị | hàm theo sản lượng | $C'(x)$ là chi phí biên — chi phí tăng thêm khi làm thêm một đơn vị |
| Doanh thu $R(x)=x\cdot p(x)$ | sản lượng nhân đơn giá | $R'(x)$ là doanh thu biên |
| Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)$ | hiệu doanh thu và chi phí | $P'(x)=0$ tại mức sản lượng tối ưu |
Phần khó của bài toán thực tiễn nằm ở việc dựng hàm số, không nằm ở việc đạo hàm. Bốn bước dưới đây là khung cố định, áp được cho mọi đề:
| Bước | Việc phải làm | Sai lầm nếu bỏ qua |
|---|---|---|
| 1. Đặt ẩn | Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn $x$, kèm đơn vị. Nếu bài có hai đại lượng chưa biết thì dùng ràng buộc của đề để biểu diễn cái thứ hai theo $x$. | Giữ hai ẩn, không đạo hàm được |
| 2. Tìm điều kiện | Xác định miền giá trị thực tế của $x$: độ dài dương, số sản phẩm không âm, cạnh cắt nhỏ hơn nửa cạnh tấm bìa… | Nhận nghiệm vô nghĩa (cạnh âm, thời gian âm) |
| 3. Lập hàm | Viết đại lượng cần tối ưu thành $f(x)$, rút gọn trước khi đạo hàm. | Đạo hàm biểu thức cồng kềnh, dễ sai dấu |
| 4. Khảo sát trên miền | Giải $f'(x)=0$, loại nghiệm ngoài điều kiện, lập bảng biến thiên hoặc so sánh giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút, rồi trả lời đúng thứ mà đề hỏi. | Trả lời nhầm: đề hỏi giá trị lớn nhất mà đưa ra vị trí đạt nó |
Bước 4 có một chi tiết quyết định điểm: miền là đoạn kín hay khoảng mở. Trên đoạn $[a;b]$, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chắc chắn tồn tại và phải so cả hai đầu mút với các điểm tới hạn. Trên khoảng mở, hai đầu mút không được lấy, và kết luận dựa vào bảng biến thiên.
a) Tối ưu diện tích. Ràng buộc thường là chu vi hoặc chiều dài hàng rào cố định. Ví dụ với chu vi $2p$ không đổi, đặt một cạnh là $x$ thì cạnh kia là $p-x$ và $S=x(p-x)$; đây là parabol có hệ số âm nên đạt lớn nhất tại $x=\dfrac{p}{2}$, tức hình vuông. Khi một cạnh dựa vào tường có sẵn thì ràng buộc đổi thành $x+2y=L$ và kết quả không còn là hình vuông nữa — phải lập hàm chứ không áp kết luận thuộc lòng.
b) Tối ưu thể tích và vật liệu. Với hộp đáy vuông cạnh $x$ và chiều cao $h$, hai ràng buộc hay gặp là thể tích cố định ($x^{2}h=V$) hoặc diện tích vật liệu cố định. Luôn dùng ràng buộc để khử $h$, đưa về hàm một biến. Nhớ phân biệt hộp có nắp ($2x^{2}+4xh$) với hộp không nắp ($x^{2}+4xh$) — chênh một mặt là ra kết quả khác.
c) Tối ưu chi phí, doanh thu, lợi nhuận. Doanh thu bằng sản lượng nhân đơn giá; nếu đơn giá giảm theo sản lượng, chẳng hạn $p=a-bx$, thì $R(x)=x(a-bx)$ là hàm bậc hai. Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí. Điều kiện tối ưu $P'(x)=0$ tương đương $R'(x)=C'(x)$: doanh thu biên bằng chi phí biên. Với chi phí trung bình $\overline{C}(x)=\dfrac{C(x)}{x}$, điểm cực tiểu của nó là mức sản lượng hiệu quả nhất.
d) Chuyển động và quãng đường. Từ $s(t)$ suy ra $v(t)=s'(t)$ và $a(t)=v'(t)$. Cần phân biệt độ dịch chuyển $s(t_{2})-s(t_{1})$ với quãng đường đi được: nếu $v$ đổi dấu trong khoảng thời gian xét thì vật có lúc đi ngược lại, quãng đường phải cộng độ dài từng chặng chứ không lấy hiệu hai vị trí. Câu hỏi "vận tốc lớn nhất" là bài tìm giá trị lớn nhất của hàm $v(t)$, tức phải giải $v'(t)=a(t)=0$ — không phải giải $v(t)=0$.
Bước 1 — Đặt ẩn. Gọi một cạnh của hình chữ nhật là $x$ (cm). Chu vi bằng $24$ nên nửa chu vi bằng $12$, do đó cạnh còn lại là $12-x$ (cm). Nhờ ràng buộc chu vi, bài toán chỉ còn một ẩn.
Bước 2 — Điều kiện. Hai cạnh đều phải dương nên $x\gt 0$ và $12-x\gt 0$, tức $0\lt x\lt 12$.
Bước 3 — Lập hàm. Diện tích $S(x)=x(12-x)=12x-x^{2}$ với $x\in(0;12)$.
Bước 4 — Khảo sát. $S'(x)=12-2x$; giải $S'(x)=0$ được $x=6$, nằm trong khoảng điều kiện. Vì $S'$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ vượt qua $6$ nên đây là điểm cực đại, đồng thời là điểm đạt giá trị lớn nhất trên khoảng đang xét. Khi đó cạnh còn lại cũng bằng $12-6=6$ cm và $S=36$ cm².
Kết luận. Hình có diện tích lớn nhất là hình vuông cạnh $6$ cm, diện tích $36$ cm². Kết quả này khớp với nhận xét chung: trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Tuy vậy đừng dùng nhận xét đó thay cho lời giải khi đề có thêm ràng buộc khác, chẳng hạn một cạnh dựa vào tường.
Bước 1 — Đặt ẩn và khử biến phụ. Gọi chiều cao của hộp là $h$ (cm). Thể tích cho ta ràng buộc $x^{2}h=256$, suy ra $h=\dfrac{256}{x^{2}}$. Nhờ đó mọi thứ viết được theo một ẩn $x$.
Bước 2 — Điều kiện. Cạnh đáy phải dương: $x\gt 0$. Đây là một khoảng mở, nên kết luận sẽ dựa vào bảng biến thiên chứ không so hai đầu mút.
Bước 3 — Lập hàm. Hộp không nắp gồm một mặt đáy và bốn mặt bên, nên diện tích vật liệu là $S=x^{2}+4xh=x^{2}+4x\cdot\dfrac{256}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1024}{x}$.
Bước 4 — Khảo sát. $S'(x)=2x-\dfrac{1024}{x^{2}}=\dfrac{2x^{3}-1024}{x^{2}}$. Giải $S'(x)=0$ được $x^{3}=512$, tức $x=8$. Với $0\lt x\lt 8$ thì $2x^{3}\lt 1024$ nên $S'\lt 0$; với $x\gt 8$ thì $S'\gt 0$. Vậy $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=8$.
Kết luận. Cạnh đáy $x=8$ cm, khi đó $h=\dfrac{256}{64}=4$ cm và diện tích vật liệu nhỏ nhất là $S=64+128=192$ cm². Chú ý nếu hộp có nắp thì hàm phải là $2x^{2}+\dfrac{1024}{x}$ và kết quả hoàn toàn khác — đọc kỹ đề trước khi viết công thức diện tích.
Bước 1 — Đặt ẩn. Ẩn đã có sẵn: $x$ là số sản phẩm bán mỗi tháng.
Bước 2 — Điều kiện. Số sản phẩm không âm và đơn giá phải dương: $40-2x\gt 0$, tức $0\le x\lt 20$.
Bước 3 — Lập hàm. Doanh thu bằng sản lượng nhân đơn giá: $R(x)=x(40-2x)=40x-2x^{2}$. Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí: $P(x)=R(x)-C(x)=40x-2x^{2}-4x-30=-2x^{2}+36x-30$.
Bước 4 — Khảo sát. $P'(x)=-4x+36$; giải $P'(x)=0$ được $x=9$, thoả điều kiện. Vì hệ số của $x^{2}$ âm nên $P'$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=9$, đây là điểm đạt giá trị lớn nhất. Lợi nhuận tương ứng $P(9)=-2\cdot 81+36\cdot 9-30=-162+324-30=132$ triệu đồng.
Kiểm chứng bằng ý nghĩa kinh tế. Doanh thu biên $R'(x)=40-4x$, chi phí biên $C'(x)=4$. Điều kiện tối ưu là $R'(x)=C'(x)$, tức $40-4x=4$, cho $x=9$ — trùng kết quả. Khi đó đơn giá là $40-18=22$ triệu đồng.
Kết luận. Bán $9$ sản phẩm mỗi tháng cho lợi nhuận lớn nhất là $132$ triệu đồng. Lỗi hay gặp ở dạng này là trả lời $9$ khi đề hỏi lợi nhuận, hoặc trả lời $132$ khi đề hỏi số sản phẩm — đọc lại câu hỏi trước khi điền.