Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn hoặc lân cận một điểm. Ba loại đường tiệm cận được định nghĩa hoàn toàn bằng giới hạn, nên muốn tìm tiệm cận thì việc duy nhất phải làm là tính giới hạn — không có mẹo nào thay thế được.
| Loại tiệm cận | Điều kiện nhận biết | Phương trình |
|---|---|---|
| Tiệm cận đứng | $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm\infty$ hoặc $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm\infty$ | $x=x_{0}$ |
| Tiệm cận ngang | $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_{0}$ hoặc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_{0}$ | $y=y_{0}$ |
| Tiệm cận xiên | $a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\ne 0$ và $b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-ax\big]$ hữu hạn | $y=ax+b$ |
Hai điều rất hay bị nhớ sai. Thứ nhất, nghiệm của mẫu chưa chắc đã cho tiệm cận đứng: nếu nghiệm đó cũng là nghiệm của tử và rút gọn được thì giới hạn hữu hạn, đồ thị chỉ bị khuyết một điểm chứ không có tiệm cận. Thứ hai, một đồ thị không thể vừa có tiệm cận ngang vừa có tiệm cận xiên về cùng một phía, vì hai điều kiện giới hạn loại trừ lẫn nhau.
| Dạng hàm | Tiệm cận đứng | Tiệm cận ngang / xiên |
|---|---|---|
| Bậc ba $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\ne 0$) | không có | không có |
| $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0$, $c\ne 0$ | $x=-\dfrac{d}{c}$ | ngang: $y=\dfrac{a}{c}$ |
| $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$ (tử không chia hết cho mẫu) | $x=-\dfrac{q}{p}$ | xiên: thương của phép chia đa thức |
Với dạng phân thức bậc hai trên bậc nhất, cách tìm tiệm cận xiên nhanh nhất là chia đa thức: viết $f(x)=ax+b+\dfrac{r}{px+q}$ thì phần dư tiến về $0$ khi $x\to\pm\infty$, nên đường thẳng $y=ax+b$ chính là tiệm cận xiên. Giao điểm của hai đường tiệm cận cũng là tâm đối xứng của đồ thị — chi tiết này giúp vẽ hình nhanh và kiểm tra lại kết quả.
Sơ đồ chuẩn gồm ba bước lớn, làm đúng thứ tự thì không bao giờ thiếu ý:
| Bước | Việc phải làm | Sản phẩm |
|---|---|---|
| 1. Tập xác định | Loại các giá trị làm mẫu bằng $0$ (hoặc biểu thức dưới căn âm) | $D$ |
| 2. Sự biến thiên | Tính $y'$, giải $y'=0$; xét dấu $y'$; tìm cực trị; tính các giới hạn tại biên và tìm tiệm cận; lập bảng biến thiên | bảng biến thiên |
| 3. Đồ thị | Vẽ tiệm cận, lấy thêm giao điểm với hai trục và vài điểm phụ, nối theo bảng biến thiên | hình vẽ |
Ba dạng đồ thị cần nhận ra ngay: bậc ba có hai điểm cực trị khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt và không có cực trị nào khi $y'$ không đổi dấu; phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định (đạo hàm $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$ giữ nguyên dấu), nên không bao giờ có cực trị; phân thức bậc hai trên bậc nhất có thể có hai cực trị và điều đặc biệt là giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu, vì hai nhánh đồ thị nằm hai bên tiệm cận đứng và không so sánh trực tiếp với nhau được.
Bảng biến thiên là bản tóm tắt đầy đủ nhất của hàm số. Từ bảng đọc được: tập xác định (các giá trị bị gạch trên dòng $x$), khoảng đồng biến — nghịch biến (dấu của $y'$), điểm cực trị (chỗ $y'$ đổi dấu), tiệm cận (các giới hạn ghi ở hai đầu và hai bên điểm bị loại), và số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ chính là số lần đường thẳng nằm ngang $y=m$ cắt đồ thị. Kỹ thuật cuối cùng này là chìa khoá của mọi câu hỏi về tương giao có tham số: chỉ cần so $m$ với giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.
Hàm số có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất với $ad-bc=2\cdot(-1)-1\cdot 1=-3\ne 0$, nên đồ thị thực sự là một hypebol và có đủ hai đường tiệm cận. Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Tiệm cận đứng. Nghiệm của mẫu là $x=1$; thay vào tử được $2\cdot 1+1=3\ne 0$ nên không rút gọn được. Ta có $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty$ vì tử dần tới $3$ còn mẫu dần tới $0$ và mang dấu dương. Vậy đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang. Chia cả tử và mẫu cho $x$: $\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$. Khi $x\to\pm\infty$ hai phân số nhỏ đều dần về $0$, nên giới hạn bằng $2$. Vậy đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang.
Kết luận. Đồ thị có đúng hai đường tiệm cận: $x=1$ và $y=2$. Giao điểm của chúng là $I(1;2)$, đồng thời là tâm đối xứng của đồ thị.
Bước 1 — Tập xác định. Hàm số là đa thức nên $D=\mathbb{R}$; không có tiệm cận nào, đúng đặc trưng của hàm bậc ba.
Bước 2 — Đạo hàm và dấu. $y'=-3x^{2}+6x=-3x(x-2)$. Giải $y'=0$ được $x=0$ và $x=2$. Vì hệ số của $x^{2}$ trong $y'$ là $-3\lt 0$ nên tam thức $y'$ mang dấu âm ở ngoài khoảng hai nghiệm và dấu dương ở trong khoảng đó. Cụ thể: $y'\lt 0$ trên $(-\infty;0)$ và trên $(2;+\infty)$, còn $y'\gt 0$ trên $(0;2)$.
Bước 3 — Cực trị. Tại $x=0$ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên đây là điểm cực tiểu, $y(0)=-2$. Tại $x=2$ đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên đây là điểm cực đại, $y(2)=-8+12-2=2$.
Bước 4 — Giới hạn ở hai đầu. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$ và $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$, phù hợp với hệ số bậc cao nhất âm.
Vậy đồ thị có điểm cực tiểu $(0;-2)$ và điểm cực đại $(2;2)$. Chú ý thứ tự: với hệ số $a\lt 0$ thì cực tiểu đứng trước cực đại theo chiều tăng của $x$, ngược hẳn với trường hợp $a\gt 0$.
Bước 1 — Chia đa thức. Thực hiện phép chia $2x^{2}-x-1$ cho $x+1$: lấy $2x^{2}:x=2x$, nhân ngược được $2x^{2}+2x$, trừ đi còn $-3x-1$; lấy $-3x:x=-3$, nhân ngược được $-3x-3$, trừ đi còn dư $2$. Vậy $y=2x-3+\dfrac{2}{x+1}$.
Bước 2 — Tiệm cận xiên. Khi $x\to\pm\infty$ thì $\dfrac{2}{x+1}\to 0$, nên hiệu $y-(2x-3)$ dần về $0$. Theo định nghĩa, đường thẳng $y=2x-3$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
Bước 3 — Tiệm cận đứng. Mẫu triệt tiêu tại $x=-1$; thay vào tử được $2+1-1=2\ne 0$ nên không rút gọn được, và $\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}y=+\infty$. Vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng.
Bước 4 — Giao điểm hai tiệm cận. Thay $x=-1$ vào phương trình tiệm cận xiên: $y=2\cdot(-1)-3=-5$. Vậy hai tiệm cận cắt nhau tại $I(-1;-5)$, và đó cũng là tâm đối xứng của đồ thị.
Lưu ý: đừng thay $x=-1$ vào hàm số ban đầu để tìm tung độ của $I$ — tại đó hàm số không xác định. Phải thay vào phương trình đường tiệm cận xiên.