Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$. Số $M$ gọi là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$, ký hiệu $\max\limits_{D}f(x)=M$, nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=M$. Tương tự, $m$ là giá trị nhỏ nhất, ký hiệu $\min\limits_{D}f(x)=m$, nếu $f(x)\ge m$ với mọi $x\in D$ và có ít nhất một điểm đạt được. Hai chữ «đạt được» là phần bắt buộc của định nghĩa: một cận trên mà hàm không bao giờ chạm tới thì không phải giá trị lớn nhất.
Định lý. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn $[a;b]$ đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Trên khoảng mở hoặc nửa khoảng thì kết luận này không còn đúng — ví dụ $y=x$ trên $(0;1)$ không có cả hai.
Quy tắc ba bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn $[a;b]$.
Trên khoảng hoặc nửa khoảng thì phải lập bảng biến thiên đầy đủ và xét thêm giới hạn ở hai biên. Nếu giới hạn tại biên bằng $+\infty$ thì hàm không có giá trị lớn nhất; nếu hàm dần tới một số hữu hạn nhưng không đạt được, số đó cũng không phải giá trị lớn nhất.
| Miền xét | Cách làm | Điểm phải cẩn thận |
|---|---|---|
| Đoạn $[a;b]$ | Quy tắc ba bước ở trên | Loại nghiệm ngoài đoạn; tính đủ $f(a)$ và $f(b)$ |
| Khoảng $(a;b)$ hoặc $\mathbb{R}$ | Bảng biến thiên đầy đủ | Có thể không tồn tại $\max$ hoặc $\min$ |
| Hàm chứa $\sin x$, $\cos x$ | Đặt $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ với $t\in[-1;1]$ | Phải ghi điều kiện $-1\le t\le 1$ rồi mới xét hàm theo $t$ |
| Bài có tham số $m$ | Tìm $\max$ hoặc $\min$ theo $m$ rồi cho bằng giá trị đề cho | Phải chia trường hợp theo chiều biến thiên trước khi lập phương trình |
Hai mẹo dùng được ngay. Thứ nhất, với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm không đổi dấu nên hàm đơn điệu trên đoạn đang xét; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất luôn rơi vào hai đầu mút, không cần giải $f'(x)=0$. Thứ hai, với hàm dạng $y=x+\dfrac{k}{x}$ trên miền $x\gt 0$ và $k\gt 0$, đạo hàm $y'=1-\dfrac{k}{x^2}$ triệt tiêu tại $x=\sqrt{k}$ và giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{k}$; kết quả này khớp với bất đẳng thức trung bình cộng — trung bình nhân, dùng để kiểm tra chéo rất nhanh.