Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$. Ta nói hàm số đồng biến trên $K$ nếu với mọi $x_1,x_2\in K$ mà $x_1\lt x_2$ thì $f(x_1)\lt f(x_2)$; hàm số nghịch biến trên $K$ nếu $x_1\lt x_2$ kéo theo $f(x_1)\gt f(x_2)$. Đồng biến và nghịch biến gọi chung là đơn điệu. Chú ý: tính đơn điệu luôn gắn với một khoảng cụ thể, không bao giờ nói «hàm số đồng biến» mà không kèm khoảng.
Định lý (dấu hiệu nhận biết bằng đạo hàm). Giả sử $f$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
Định lý mở rộng — chỗ hay bị bỏ quên. Nếu $f'(x)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f'(x)=0$ chỉ tại hữu hạn điểm của $K$ thì $f$ vẫn đồng biến trên $K$. Nhờ mở rộng này mà hàm $y=x^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ dù $y'(0)=0$, và mọi bài toán tìm tham số $m$ để hàm bậc ba đơn điệu trên $\mathbb{R}$ đều dùng dấu $\ge$ chứ không phải dấu $\gt$.
Sơ đồ bốn bước xét tính đơn điệu.
Hai lớp hàm ra đề nhiều nhất.
| Dạng hàm | Đạo hàm | Kết luận nhanh |
|---|---|---|
| Bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ | $y'=3ax^2+2bx+c$ | Đơn điệu trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta_{y'}\le 0$ (và $a\ne 0$) |
| Phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ $(c\ne 0)$ | $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ | Dấu của $y'$ chỉ phụ thuộc dấu của $ad-bc$; hàm đơn điệu trên từng khoảng xác định, không bao giờ trên cả $\mathbb{R}$ |
| Trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ | $y'=4ax^3+2bx$ | Luôn có ít nhất một điểm đổi dấu tại $x=0$ nên không đơn điệu trên $\mathbb{R}$ |
Bài toán tham số. Muốn hàm bậc ba đồng biến trên $\mathbb{R}$ ta cần $y'\ge 0$ với mọi $x$, tức $a\gt 0$ và $\Delta_{y'}\le 0$. Muốn hàm phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ đơn điệu trên một khoảng $(\alpha;\beta)$ thì ngoài điều kiện dấu của $ad-bc$ còn phải thêm điều kiện tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ không nằm trong khoảng đó. Bỏ quên điều kiện thứ hai là lỗi làm mất điểm nhiều nhất ở dạng này.