Chương xác suất lớp 11 chỉ có ba công thức, nhưng đề thi vẫn hỏi được vì hai chữ «hoặc» và «và» trong tiếng Việt thường bị đọc lướt, còn hai khái niệm xung khắc và độc lập thì hay bị coi là một. Bài này tách bạch từng thứ, và mọi thứ đều nhìn được trên sơ đồ Venn.
Chỉ một chữ khác nhau nhưng hai xác suất thường lệch nhau rất xa. Đọc sót chữ «ít nhất» là tính giao trong khi đề hỏi hợp — không có phép kiểm nào bắt được lỗi này ngoài việc đọc kỹ.
Với hai biến cố bất kỳ:
Nhìn sơ đồ Venn là hiểu ngay tại sao có dấu trừ: khi cộng $P(A)$ với $P(B)$, phần giao nằm trong cả hai đường tròn nên bị đếm hai lần; phải trừ đi một lần để mỗi kết quả chỉ được tính đúng một lần.
Trường hợp riêng: hai biến cố xung khắc là hai biến cố không bao giờ cùng xảy ra, tức $A\cap B=\varnothing$ và $P(A\cap B)=0$. Khi đó công thức rút gọn thành $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Trên sơ đồ Venn, hai đường tròn tách rời nhau.
Hai biến cố $A$ và $B$ gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Dấu hiệu kiểm được bằng số:
Đây là một đẳng thức phải kiểm bằng số, không phải cảm nhận «hai chuyện này chẳng liên quan gì đến nhau». Trong thực tế, độc lập thường đến từ cấu trúc phép thử: hai lần tung xúc xắc, hai lần bắn của hai xạ thủ khác nhau, hai máy chạy riêng biệt. Nếu $A$ và $B$ độc lập thì các cặp $\overline{A}$ và $B$, $A$ và $\overline{B}$, $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.
| Xung khắc | Độc lập | |
|---|---|---|
| Định nghĩa | $A\cap B=\varnothing$ | $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ |
| Nói về | tập hợp các kết quả | quan hệ giữa hai xác suất |
| Công thức được dùng | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ | $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ |
| Trên Venn | hai đường tròn rời nhau | không nhìn ra được, phải tính |
Quan hệ giữa hai khái niệm: nếu $P(A)\gt 0$ và $P(B)\gt 0$ mà $A$, $B$ xung khắc thì chúng chắc chắn không độc lập, vì $P(A\cap B)=0$ trong khi $P(A)P(B)\gt 0$. Nói cách khác, hai biến cố có xác suất dương không thể vừa xung khắc vừa độc lập.
Đây là dạng hỏi phổ biến nhất của chương, và lối làm gọn nhất thường là đi qua biến cố đối:
Ba cách phải cho cùng một số. Làm một cách rồi kiểm bằng cách thứ hai là thói quen đáng giá nhất của chương này.
Gọi $T$ là biến cố «học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Toán» và $A$ là biến cố «học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh». Cụm «ít nhất một» ứng với biến cố hợp $T\cup A$, còn cụm «cả hai» ứng với biến cố giao $T\cap A$.
Vì việc chọn là ngẫu nhiên nên mọi học sinh có cùng khả năng được chọn, mẫu số luôn là $40$:
$$P(T)=\dfrac{22}{40}=0{,}55;\qquad P(A)=\dfrac{18}{40}=0{,}45;\qquad P(T\cap A)=\dfrac{8}{40}=0{,}2.$$Chú ý con số $22$ là tổng số em học Toán, đã bao gồm cả $8$ em học cả hai — đề không nói «chỉ học Toán».
Hai biến cố này không xung khắc (có $8$ em thuộc cả hai), nên bắt buộc phải trừ phần giao:
$$P(T\cup A)=P(T)+P(A)-P(T\cap A)=0{,}55+0{,}45-0{,}2=0{,}8.$$«Không tham gia câu lạc bộ nào» chính là biến cố đối của «ít nhất một», nên
$$P\left(\overline{T\cup A}\right)=1-P(T\cup A)=1-0{,}8=0{,}2.$$Chia lớp thành bốn nhóm rời nhau: chỉ Toán $22-8=14$ em; chỉ Tiếng Anh $18-8=10$ em; cả hai $8$ em; không câu lạc bộ nào $40-14-10-8=8$ em. Xác suất bốn nhóm lần lượt là $0{,}35$; $0{,}25$; $0{,}2$; $0{,}2$, cộng lại đúng bằng $1$ — dấu hiệu chắc chắn không đếm sót hay đếm trùng. Số em tham gia ít nhất một câu lạc bộ là $14+10+8=32$, cho $\dfrac{32}{40}=0{,}8$, khớp với công thức cộng.
$P(T\cup A)=0{,}8$ và xác suất không tham gia câu lạc bộ nào bằng $0{,}2$.
Cộng thẳng $0{,}55+0{,}45=1$ và kết luận «chắc chắn có tham gia» là bẫy chính; con số $1$ trông rất gọn nên dễ tin, nhưng nó đếm $8$ em học cả hai đến hai lần. Bẫy thứ hai là lấy $22$ làm số em «chỉ học Toán», khi đó tổng bốn nhóm vượt quá $40$ — phép kiểm ở bước 5 bắt được ngay.
Gọi $A$ là biến cố «người thứ nhất bắn trúng», $B$ là «người thứ hai bắn trúng», với $P(A)=0{,}8$ và $P(B)=0{,}6$. Đề nói rõ hai người bắn độc lập, nên được phép dùng công thức nhân: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Không có chữ «độc lập» thì không được nhân.
Biến cố đối của «ít nhất một viên trúng» là «cả hai đều trượt». Vì $A$, $B$ độc lập nên $\overline{A}$, $\overline{B}$ cũng độc lập:
$$P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=\left(1-0{,}8\right)\left(1-0{,}6\right)=0{,}2\cdot 0{,}4=0{,}08,$$$$P(A\cup B)=1-0{,}08=0{,}92.$$«Đúng một viên» gồm hai trường hợp rời nhau: người thứ nhất trúng và người thứ hai trượt, hoặc ngược lại. Hai trường hợp này xung khắc nên xác suất cộng lại:
$$P=P(A)P\left(\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\right)P(B)=0{,}8\cdot 0{,}4+0{,}2\cdot 0{,}6=0{,}32+0{,}12=0{,}44.$$Bốn khả năng rời nhau và phủ hết mọi tình huống: cả hai trúng $0{,}8\cdot 0{,}6=0{,}48$; chỉ người một trúng $0{,}32$; chỉ người hai trúng $0{,}12$; cả hai trượt $0{,}08$. Tổng bốn số này là $0{,}48+0{,}32+0{,}12+0{,}08=1$ — đúng như bắt buộc. Kiểm chéo lần nữa cho câu đầu bằng công thức cộng: $P(A\cup B)=0{,}8+0{,}6-0{,}48=0{,}92$, khớp với kết quả dùng biến cố đối.
Xác suất mục tiêu bị trúng ít nhất một viên là $0{,}92$; xác suất bị trúng đúng một viên là $0{,}44$.
Bẫy lớn nhất là lẫn «ít nhất một» với «đúng một»: hai đáp số là $0{,}92$ và $0{,}44$, lệch nhau hơn gấp đôi. Bẫy thứ hai là cộng thẳng $0{,}8+0{,}6=1{,}4$ — kết quả lớn hơn $1$ nên tự nó đã báo sai, vậy mà vẫn có bài làm ghi như thế. Bẫy thứ ba là tính «cả hai trượt» thành $1-0{,}8\cdot 0{,}6=0{,}52$, tức lấy đối của giao thay vì giao của hai đối.
Lần lấy thứ nhất có $10$ viên, trong đó $4$ viên đỏ, nên $P(A)=\dfrac{4}{10}=0{,}4$. Với biến cố $B$, cần cẩn thận: nếu chưa biết gì về lần lấy đầu thì theo tính đối xứng, viên thứ hai cũng có xác suất là đỏ bằng $0{,}4$. Có thể kiểm bằng cách chia trường hợp: $P(B)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{12+24}{90}=\dfrac{36}{90}=0{,}4$.
Để cả hai viên cùng đỏ thì lần đầu phải rút được một trong $4$ viên đỏ, sau đó hộp chỉ còn $9$ viên với $3$ viên đỏ:
$$P(A\cap B)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}133.$$Cả tử lẫn mẫu đều giảm vì viên bi lấy ra không được trả lại — đây là điểm mấu chốt của lối lấy không hoàn lại.
Độc lập nghĩa là $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Ở đây $P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}16$, trong khi $P(A\cap B)\approx 0{,}133$. Hai số khác nhau nên hai biến cố không độc lập. Điều đó hợp lý: lấy đi một viên đỏ thì cơ hội viên thứ hai màu đỏ giảm xuống.
Số cách lấy có thứ tự hai viên từ $10$ viên là $10\cdot 9=90$; số cách lấy được hai viên đỏ là $4\cdot 3=12$, cho $\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$ — trùng kết quả. Kiểm thêm bằng tổng xác suất bốn trường hợp: đỏ–đỏ $\dfrac{12}{90}$, đỏ–xanh $\dfrac{24}{90}$, xanh–đỏ $\dfrac{24}{90}$, xanh–xanh $\dfrac{30}{90}$; cộng lại được $\dfrac{90}{90}=1$, đúng như bắt buộc.
Hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập, và $P(A\cap B)=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}133$.
Bẫy chính là nhân thẳng $0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}16$ vì thấy hai lần lấy «chẳng liên quan gì đến nhau». Đó đúng là đáp số của bài có hoàn lại, không phải bài này. Bẫy thứ hai là nhớ giảm tử mà quên giảm mẫu, viết $\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{10}=0{,}12$. Bẫy thứ ba là kết luận «không độc lập nên xung khắc» — sai, vì hai biến cố này vẫn cùng xảy ra được với xác suất dương.