Đây là phần hình học không gian mà đề thi hỏi chắc chắn có, và cũng là phần học sinh hay bỏ trắng nhất. Lý do không phải vì khó tính toán — mọi phép tính đều chỉ là tam giác vuông lớp 9 — mà vì phải dựng đúng hình trước đã. Bài này đi từ một cấu hình duy nhất: hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, và toàn bộ kỹ thuật xoay quanh nó.
Định lý dấu hiệu: nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Hai chữ «cắt nhau» là phần bắt buộc: vuông góc với hai đường song song thì chưa kết luận được gì.
Khi $SA\perp(ABCD)$ thì $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, kể cả những đường không đi qua $A$. Đây là kho dữ kiện dùng suốt bài: mọi tam giác $SAB$, $SAC$, $SAD$ đều vuông tại $A$.
Từ đó có một chuỗi suy luận dùng đi dùng lại: trong hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông với $SA\perp(ABCD)$, ta có $BC\perp AB$ (vì đáy là hình vuông) và $BC\perp SA$ (vì $SA$ vuông góc mặt đáy), hai đường $AB$ và $SA$ cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp(SAB)$. Hệ quả: $BC\perp SB$, và mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.
Cho đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(P)$ và không vuông góc với $(P)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu vuông góc $d'$ của $d$ trên $(P)$. Nếu $d\perp(P)$ thì góc bằng $90^{\circ}$; nếu $d$ nằm trong hoặc song song với $(P)$ thì góc bằng $0^{\circ}$. Góc này luôn thuộc đoạn từ $0^{\circ}$ đến $90^{\circ}$ — ra kết quả tù là chắc chắn sai.
Quy trình ba bước, không có bước nào bỏ được:
Cho hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$. Lấy một điểm trên $\Delta$, từ đó kẻ trong mỗi mặt phẳng một đường thẳng vuông góc với $\Delta$; góc giữa hai đường đó là góc giữa hai mặt phẳng. Chữ «vuông góc với giao tuyến» là điều kiện sống còn: lấy hai đường bất kỳ trong hai mặt phẳng thì được một góc khác hẳn, và không có gì báo lỗi.
Với hình chóp quen thuộc ($SA\perp$ đáy, đáy hình vuông), góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ tìm như sau: giao tuyến là $BC$; trong mặt đáy có $AB\perp BC$; trong mặt $(SBC)$ có $SB\perp BC$ (vì $BC\perp(SAB)$). Vậy góc cần tìm là $\widehat{SBA}$, và $\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}$.
Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn $MH$ với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$ — tức đoạn ngắn nhất nối $M$ với một điểm của $(P)$. Ba cách dựng, xếp theo thứ tự nên thử:
Công thức hệ thức lượng dùng nhiều nhất: trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền thoả
Vì $SA\perp(ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ trên mặt đáy chính là điểm $A$. Điểm $C$ đã nằm sẵn trong mặt đáy nên hình chiếu của nó là chính nó. Vậy hình chiếu của đoạn $SC$ là đoạn $AC$, và góc cần tìm là $\widehat{SCA}$.
$AC$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$ nên
$$AC=a\sqrt2.$$Đây là con số phải nhớ mặt: đường chéo hình vuông cạnh $a$ luôn bằng $a\sqrt2$, còn đường chéo hình lập phương cạnh $a$ bằng $a\sqrt3$.
Vì $SA\perp(ABCD)$ và $AC$ nằm trong mặt đáy nên $SA\perp AC$, tức tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Do đó
$$\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt2}{a\sqrt2}=1\ \Rightarrow\ \widehat{SCA}=45^{\circ}.$$Vẫn trong tam giác vuông đó, dùng định lý Pythagoras:
$$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a.$$Nếu góc $45^{\circ}$ đúng thì phải có $SC=\dfrac{AC}{\cos 45^{\circ}}=\dfrac{a\sqrt2}{\dfrac{\sqrt2}{2}}=2a$ — trùng với kết quả Pythagoras. Kiểm thêm một dấu hiệu định tính: tam giác $SAC$ có hai cạnh góc vuông bằng nhau nên nó vuông cân, và góc nhọn của tam giác vuông cân đúng bằng $45^{\circ}$. Ba con đường độc lập cho cùng một kết luận.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ}$, và $SC=2a$.
Lỗi nặng nhất là lấy $\widehat{SCB}$ thay cho $\widehat{SCA}$. Khi đó $\tan\widehat{SCB}=\dfrac{SB}{BC}=\dfrac{a\sqrt3}{a}=\sqrt3$ cho $60^{\circ}$ — một con số «đẹp» nên rất dễ tin, nhưng $CB$ không phải hình chiếu của $SC$. Bẫy thứ hai là lấy $AB=a$ làm hình chiếu, ra $\tan\alpha=\sqrt2$ và một góc không tròn.
Đáy là hình vuông nên $BC\perp AB$. Mặt khác $SA\perp(ABCD)$ mà $BC$ nằm trong mặt đáy nên $SA\perp BC$. Hai đường $AB$ và $SA$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, do đó $BC\perp(SAB)$. Đây là bước không được bỏ: mọi kết luận sau đều dựa vào nó.
Trong mặt phẳng $(SAB)$, kẻ $AH\perp SB$ tại $H$. Vì $BC\perp(SAB)$ nên $BC\perp AH$. Như vậy $AH$ vuông góc với hai đường cắt nhau $SB$ và $BC$ của mặt phẳng $(SBC)$, suy ra $AH\perp(SBC)$ và
$$d\left(A,(SBC)\right)=AH.$$Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=a\sqrt3$ và $AB=a$, đường cao ứng với cạnh huyền là $AH$:
$$AH=\dfrac{SA\cdot AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt3\cdot a}{\sqrt{3a^2+a^2}}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2a}=\dfrac{a\sqrt3}{2}.$$Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^3\sqrt3}{6}$. Mặt khác tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (vì $BC\perp SB$) với $SB=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$ và $BC=a$, nên diện tích của nó là $\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot a=a^2$. Từ $V=\dfrac{1}{3}S\cdot h$ suy ra
$$h=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{6}}{a^2}=\dfrac{a\sqrt3}{2},$$trùng khớp với kết quả dựng hình. Hai phương pháp hoàn toàn độc lập cho cùng một số nên đáp án chắc chắn.
$d\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Bẫy phổ biến nhất là trả lời $AB=a$, tức lấy khoảng cách từ $A$ tới đường thẳng $BC$ thay vì tới mặt phẳng $(SBC)$. Bẫy thứ hai là kẻ $AH\perp SB$ rồi kết luận ngay $AH\perp(SBC)$ mà không nêu $AH\perp BC$ — thiếu một nửa lập luận. Bẫy thứ ba là áp hệ thức đường cao cho tam giác $SBC$ (không vuông tại $A$) thay vì cho tam giác $SAB$.
Từ $C$ hạ vuông góc xuống $(SBD)$ thì chân đường vuông góc nằm ở một chỗ không có sẵn trên hình. Nhưng $O$ là tâm hình vuông nên $O$ là trung điểm của $AC$, mà $O$ lại thuộc mặt phẳng $(SBD)$. Đường thẳng $AC$ cắt $(SBD)$ tại $O$, nên
$$\dfrac{d\left(C,(SBD)\right)}{d\left(A,(SBD)\right)}=\dfrac{OC}{OA}=1\ \Rightarrow\ d\left(C,(SBD)\right)=d\left(A,(SBD)\right).$$Bài đã chuyển về một điểm dễ hơn hẳn, vì $A$ là chân đường cao của hình chóp.
Đáy là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: $BD\perp AC$. Lại có $SA\perp(ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Hai đường $AC$ và $SA$ cắt nhau tại $A$, vậy $BD\perp(SAC)$. Suy ra mặt phẳng $(SBD)$ chứa $BD$ nên $(SBD)\perp(SAC)$, và giao tuyến của hai mặt phẳng này là $SO$.
Trong mặt phẳng $(SAC)$, kẻ $AK\perp SO$ tại $K$. Vì $BD\perp(SAC)$ nên $BD\perp AK$; $AK$ vuông góc với hai đường cắt nhau $SO$ và $BD$ của $(SBD)$ nên $AK\perp(SBD)$. Tam giác $SAO$ vuông tại $A$ với $SA=a$ và $AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}$, do đó
$$AK=\dfrac{SA\cdot AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2}}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt2}{2}}{\dfrac{a\sqrt6}{2}}=\dfrac{a\sqrt2}{\sqrt6}=\dfrac{a\sqrt3}{3}.$$Thể tích khối chóp $S.ABD$ bằng $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot a=\dfrac{a^3}{6}$. Tam giác $SBD$ có $BD=a\sqrt2$ và đường cao $SO=\sqrt{SA^2+AO^2}=\dfrac{a\sqrt6}{2}$, nên diện tích bằng $\dfrac{1}{2}\cdot a\sqrt2\cdot\dfrac{a\sqrt6}{2}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$. Từ đó $d\left(A,(SBD)\right)=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\cdot\dfrac{a^3}{6}}{\dfrac{a^2\sqrt3}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt3}{3}$ — khớp với kết quả dựng hình.
$d\left(C,(SBD)\right)=d\left(A,(SBD)\right)=\dfrac{a\sqrt3}{3}$.
Bẫy thứ nhất là dùng tỉ số sai: nhiều bạn viết $d\left(C,(SBD)\right)=2\,d\left(A,(SBD)\right)$ vì thấy $AC=2AO$, quên rằng $O$ là trung điểm nên tỉ số $\dfrac{OC}{OA}$ bằng $1$ chứ không phải $2$. Bẫy thứ hai là trả lời $OC=\dfrac{a\sqrt2}{2}$, tức lấy khoảng cách từ $C$ tới đường thẳng $BD$ thay vì tới mặt phẳng $(SBD)$ — con số này lớn hơn đáp số đúng.