Mũ và lôgarit là chương duy nhất mà một dấu bất đẳng thức có thể tự đổi chiều, và đó cũng là chỗ mất điểm nhiều nhất. Toàn bộ chương chỉ dựng trên một sự thật: hàm $y=a^x$ đồng biến khi $a\gt 1$ và nghịch biến khi $0\lt a\lt 1$. Nắm chắc điều đó thì mọi công thức còn lại tự suy ra được.
Hàm $y=a^x$ (với $a\gt 0$, $a\ne 1$) luôn nhận giá trị dương, luôn đi qua điểm $(0;1)$ và có trục hoành làm tiệm cận ngang. Nhưng nó có hai dáng khác hẳn nhau:
Hàm lôgarit $y=\log_a x$ là hàm ngược của hàm mũ nên thừa hưởng đúng tính chất đó: đồng biến khi $a\gt 1$, nghịch biến khi $0\lt a\lt 1$. Khác một điểm quan trọng: hàm lôgarit chỉ xác định khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương, nên mọi bài lôgarit đều phải đặt điều kiện trước.
| Phương trình | Điều kiện | Kết quả |
|---|---|---|
| $a^{\,x}=b$ | $b\gt 0$ | $x=\log_a b$; nếu $b\le 0$ thì vô nghiệm |
| $a^{\,f(x)}=a^{\,g(x)}$ | không cần | $f(x)=g(x)$ |
| $\log_a f(x)=b$ | $f(x)\gt 0$ | $f(x)=a^{\,b}$ |
| $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ | $f(x)\gt 0$ (hoặc $g(x)\gt 0$) | $f(x)=g(x)$ |
Phương trình mũ không cần điều kiện vì $a^{\,x}$ luôn xác định với mọi số thực $x$; đổi lại vế phải phải dương. Phương trình lôgarit thì ngược hẳn: luôn phải đặt điều kiện, và điều kiện này thường chính là thứ loại đi một nghiệm ngoại lai ở cuối bài.
Quy trình an toàn cho mọi bất phương trình lôgarit gồm đúng ba bước, làm theo thứ tự này thì không sai được: (1) đặt điều kiện xác định; (2) đưa hai vế về cùng cơ số rồi bỏ dấu lôgarit, nhìn cơ số để quyết định có đổi chiều hay không; (3) giao tập nghiệm vừa tìm với điều kiện. Bỏ bước (1) thì nhận nghiệm thừa, bỏ bước (3) thì viết ra đáp số rộng hơn thực tế.
Thấy $9=3^2$ nên $9^{\,x}=\left(3^2\right)^{x}=3^{\,2x}=\left(3^{\,x}\right)^2$. Phương trình chỉ còn chứa $3^{\,x}$ và bình phương của nó — đúng dấu hiệu của bài đặt ẩn phụ. Chú ý $9^{\,x}$ bằng $3^{\,2x}$ chứ không bằng $3^{\,x^2}$; nhầm chỗ này là bài không quy về bậc hai được nữa.
Đặt $t=3^{\,x}$. Vì hàm mũ luôn dương nên bắt buộc $t\gt 0$; điều kiện này phải ghi ra ngay, không để tới cuối bài. Phương trình trở thành
$$t^2-4t+3=0\ \Rightarrow\ (t-1)(t-3)=0\ \Rightarrow\ t=1\ \text{hoặc}\ t=3.$$Cả hai giá trị đều dương nên đều được nhận.
Đây là bước hay bị bỏ quên nhất: đề hỏi $x$ chứ không hỏi $t$.
$$3^{\,x}=1\Rightarrow x=0;\qquad 3^{\,x}=3\Rightarrow x=1.$$Nhớ $3^{0}=1$, nên $t=1$ cho $x=0$ chứ không phải $x=1$.
Với $x=0$: $9^{0}-4\cdot 3^{0}+3=1-4+3=0$ — đúng. Với $x=1$: $9-4\cdot 3+3=9-12+3=0$ — đúng. Thử thêm một giá trị không phải nghiệm, chẳng hạn $x=2$: $81-36+3=48\ne 0$, đúng như mong đợi. Ngoài ra có thể kiểm bằng định lý Viète trên ẩn $t$: tổng hai nghiệm là $4$ và tích là $3$, khớp với $t=1$ và $t=3$.
Phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=1$.
Ba lỗi hay gặp ở bài này. Thứ nhất, viết $9^{\,x}=3^{\,x^2}$ rồi bế tắc. Thứ hai, giải xong $t=1$, $t=3$ là khoanh luôn đáp án «$x=1$ và $x=3$» — nhầm ẩn phụ với ẩn gốc. Thứ ba, ở những bài tương tự mà phương trình bậc hai có nghiệm âm, chẳng hạn $t=-2$, nhiều bạn vẫn viết $3^{\,x}=-2$ rồi ra một nghiệm ảo; đúng ra phải loại vì $t\gt 0$.
Cả hai biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương: $x-1\gt 0$ và $x+1\gt 0$, tức $x\gt 1$ và $x\gt -1$. Lấy phần chung được điều kiện $x\gt 1$. Ghi điều kiện ra giấy ngay lúc này, vì sau khi gộp hai lôgarit thì dấu vết của nó biến mất.
Với điều kiện vừa đặt thì cả hai biểu thức đều dương nên được phép dùng $\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$:
$$\log_2\left[(x-1)(x+1)\right]=3\ \Rightarrow\ \log_2\left(x^2-1\right)=3.$$Theo định nghĩa, $\log_a f=b$ tương đương $f=a^{\,b}$:
$$x^2-1=2^{3}=8\ \Rightarrow\ x^2=9\ \Rightarrow\ x=3\ \text{hoặc}\ x=-3.$$Chú ý vế phải là $2^3=8$, không phải $3$ — đây là chỗ hay chép nhầm vì con số $3$ ở vế phải đề bài.
Điều kiện là $x\gt 1$. Giá trị $x=3$ thoả mãn nên được nhận; giá trị $x=-3$ không thoả mãn nên bị loại. Không có bước này thì bài trả lời hai nghiệm và mất điểm hoàn toàn.
Với $x=3$: $\log_2 2+\log_2 4=1+2=3$ — đúng bằng vế phải. Với $x=-3$: biểu thức $\log_2(-4)$ không tồn tại, xác nhận nghiệm này phải loại chứ không phải «loại cho chắc». Phép thế ngược ở đây làm được hai việc cùng lúc: xác nhận nghiệm nhận và chứng minh nghiệm loại.
Phương trình có đúng một nghiệm $x=3$.
Bẫy chính là nhận cả $x=-3$: sau khi gộp thành $\log_2\left(x^2-1\right)$ thì biểu thức $x^2-1=8$ vẫn dương tại $x=-3$, nên nhìn vào phương trình đã biến đổi thì không thấy gì sai. Đây đúng là lý do phải đặt điều kiện từ phương trình gốc chứ không phải từ phương trình đã gộp. Bẫy thứ hai là lấy vế phải bằng $3$ thay vì $2^3$, cho $x^2=4$ và đáp số $x=2$.
Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương: $2x-1\gt 0$, tức $x\gt 0{,}5$. Đây là ràng buộc độc lập với bất phương trình, phải giữ tới cuối để giao vào.
Cơ số là $0{,}5$, nhỏ hơn $1$, nên hàm $\log_{0{,}5}t$ nghịch biến: giá trị lôgarit lớn hơn ứng với biểu thức nhỏ hơn. Vì vậy khi bỏ dấu lôgarit phải đổi chiều bất đẳng thức. Viết $-3=\log_{0{,}5}\left(0{,}5^{-3}\right)=\log_{0{,}5}8$ rồi so sánh:
$$\log_{0{,}5}(2x-1)\ge\log_{0{,}5}8\ \Longleftrightarrow\ 2x-1\le 8.$$Dấu $\ge$ ở vế lôgarit thành dấu $\le$ ở vế biểu thức — đây là toàn bộ nội dung của bài.
Từ $2x-1\le 8$ được $2x\le 9$, tức $x\le 4{,}5$.
Kết hợp $x\gt 0{,}5$ và $x\le 4{,}5$ được tập nghiệm là nửa khoảng $\left(0{,}5;4{,}5\right]$. Vẽ hai điều kiện lên cùng một trục số rồi lấy phần chung là cách chắc chắn nhất, nhất là khi đề có ba, bốn ràng buộc.
Thử $x=1$ (thuộc tập nghiệm): $\log_{0{,}5}1=0\ge -3$ — đúng. Thử đầu mút $x=4{,}5$: $\log_{0{,}5}8=-3\ge -3$ — đúng, nên đầu mút được lấy. Thử $x=6$ (ngoài tập nghiệm): $2x-1=11$ và $\log_{0{,}5}11\approx -3{,}46$, nhỏ hơn $-3$ nên không thoả. Thử $x=0{,}2$: biểu thức $2x-1$ âm, lôgarit không xác định. Bốn phép thử này khoá chặt cả hai đầu của tập nghiệm.
Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(0{,}5;4{,}5\right]$.
Giữ nguyên chiều sẽ cho $2x-1\ge 8$, tức $x\ge 4{,}5$, và tập nghiệm thành $\left[4{,}5;+\infty\right)$. Hai tập này chỉ chung đúng một điểm $4{,}5$ — sai chiều là mất trọn câu chứ không phải lệch chút ít. Bẫy thứ hai là quên bước giao với điều kiện, trả lời $x\le 4{,}5$, khi đó nhận cả những giá trị như $x=0$ mà lôgarit không xác định.