Cấp số cộng và cấp số nhân là hai kiểu tăng cơ bản nhất của một dãy số: cộng thêm một lượng không đổi và nhân với một lượng không đổi. Cả chương chỉ có bốn công thức, nhưng đề thi vẫn hỏi được vì phần khó không nằm ở công thức mà ở ba chỗ: đếm đúng chỉ số, nhớ đúng số mũ, và biết công thức tổng cấp số nhân hỏng khi $q=1$.
Dãy số là một hàm số mà biến chỉ nhận giá trị nguyên dương: $n\mapsto u_n$. Đặt các số hạng lên trục số thì hai kiểu tăng hiện ra rất rõ. Cấp số cộng cho các điểm cách đều nhau, khoảng cách chính là công sai $d$. Cấp số nhân cho các điểm mà khoảng cách tự nó lớn dần lên theo đúng tỉ lệ $q$ — đây là lý do một cấp số nhân dù xuất phát chậm cũng vượt mọi cấp số cộng sau vài bước.
Dãy $(u_n)$ là cấp số cộng khi hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi: $u_{n+1}-u_n=d$ với mọi $n\ge 1$. Số $d$ gọi là công sai. Ba công thức phải thuộc:
| Đại lượng | Công thức | Nhớ bằng cách nào |
|---|---|---|
| Số hạng tổng quát | $u_n=u_1+(n-1)d$ | từ $u_1$ đi tới $u_n$ phải bước $n-1$ bước, mỗi bước dài $d$ |
| Tính chất ba số liên tiếp | $2u_k=u_{k-1}+u_{k+1}$ | $u_k$ là trung bình cộng của hai số kề |
| Tổng $n$ số hạng đầu | $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}=\dfrac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$ | ghép số đầu với số cuối, được $\dfrac{n}{2}$ cặp bằng nhau |
Hệ số $(n-1)$ chứ không phải $n$ là chỗ sai nhiều nhất của cả chương. Kiểm bằng cách thay $n=1$: công thức đúng phải cho $u_1=u_1+0\cdot d=u_1$; nếu viết $u_n=u_1+nd$ thì $n=1$ cho $u_1+d$, sai ngay từ số hạng đầu tiên.
Dãy $(u_n)$ là cấp số nhân khi tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi: $u_{n+1}=u_n\cdot q$ với mọi $n\ge 1$; $q$ gọi là công bội. Định nghĩa này đòi hỏi $u_1\ne 0$ và $q\ne 0$, nếu không thì tỉ số không xác định.
| Đại lượng | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Số hạng tổng quát | $u_n=u_1\cdot q^{\,n-1}$ | $u_1\ne 0$, $q\ne 0$ |
| Tính chất ba số liên tiếp | $u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}$ | $k\ge 2$ |
| Tổng $n$ số hạng đầu | $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^{\,n}}{1-q}$ | chỉ khi $q\ne 1$ |
| Tổng khi công bội bằng $1$ | $S_n=n\cdot u_1$ | khi $q=1$ |
Cũng như cấp số cộng, số mũ là $n-1$ chứ không phải $n$, và kiểm bằng $n=1$: $u_1\cdot q^{0}=u_1$ — đúng. Còn tính chất ba số liên tiếp của cấp số nhân là bình phương, không phải nhân đôi: viết $2u_k=u_{k-1}u_{k+1}$ là trộn hai chương vào nhau.
Cho một dãy, chỉ cần thử hai phép: lấy hiệu vài cặp liên tiếp, nếu không đổi thì là cấp số cộng; lấy thương vài cặp liên tiếp, nếu không đổi thì là cấp số nhân. Dãy $1;4;9;16$ có hiệu $3;5;7$ không đổi được và thương $4;2{,}25;1{,}78$ cũng không đổi được, nên không thuộc cả hai loại. Với dãy cho bằng công thức: $u_n=an+b$ luôn là cấp số cộng với $d=a$; $u_n=a\cdot b^{\,n}$ luôn là cấp số nhân với $q=b$.
Dùng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$, chú ý hệ số là $n-1$:
$$u_3=u_1+2d=7,\qquad u_7=u_1+6d=19.$$Hai ẩn, hai phương trình — bài đã quy về một hệ bậc nhất quen thuộc.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, $u_1$ triệt tiêu ngay:
$$(u_1+6d)-(u_1+2d)=19-7\ \Rightarrow\ 4d=12\ \Rightarrow\ d=3.$$Thay ngược vào $u_1+2d=7$ được $u_1=7-6=1$. Mẹo nhanh dùng được cho mọi bài dạng này: $d=\dfrac{u_7-u_3}{7-3}$, tức hiệu hai số hạng chia cho hiệu hai chỉ số.
Dùng $S_n=\dfrac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$ với $n=20$:
$$S_{20}=\dfrac{20\left[2\cdot 1+19\cdot 3\right]}{2}=10\left(2+57\right)=590.$$Tính riêng $u_{20}=u_1+19d=1+57=58$, rồi dùng dạng thứ hai của công thức tổng: $S_{20}=\dfrac{20\left(u_1+u_{20}\right)}{2}=10\left(1+58\right)=590$. Hai con đường độc lập cho cùng một số nên kết quả đáng tin. Kiểm thêm dữ kiện gốc: $u_3=1+2\cdot 3=7$ và $u_7=1+6\cdot 3=19$ — khớp đề.
$u_1=1$, $d=3$ và $S_{20}=590$.
Nếu dùng nhầm $u_n=u_1+nd$ thì hệ trở thành $u_1+3d=7$ và $u_1+7d=19$, vẫn cho $d=3$ nhưng $u_1=-2$, và tổng thành $S_{20}=\dfrac{20\left(-4+57\right)}{2}=530$ — sai $60$ đơn vị mà không có gì báo động, vì mọi phép tính sau đó đều trơn tru. Bẫy thứ hai là chia cho $4$ nhưng lại lấy $7-3=4$ nhầm thành số hạng chứ không phải chỉ số.
Viết hai dữ kiện: $u_2=u_1q=6$ và $u_5=u_1q^4=48$. Vì $u_1\ne 0$ và $q\ne 0$, ta được phép chia hai đẳng thức cho nhau; $u_1$ triệt tiêu:
$$\dfrac{u_1q^4}{u_1q}=\dfrac{48}{6}\ \Rightarrow\ q^3=8\ \Rightarrow\ q=2.$$Số mũ $3$ chính là hiệu hai chỉ số $5-2$. Đây là mũ lẻ nên chỉ có một nghiệm thực; nếu ra $q^2$ hay $q^4$ thì bắt buộc phải xét cả nghiệm âm.
Thay $q=2$ vào $u_1q=6$ được $u_1=3$. Kiểm nhanh: dãy là $3;6;12;24;48;96;\dots$, đúng có $u_2=6$ và $u_5=48$.
Ở đây $q=2\ne 1$ nên được dùng công thức tổng:
$$S_6=u_1\cdot\dfrac{1-q^6}{1-q}=3\cdot\dfrac{1-64}{1-2}=3\cdot\dfrac{-63}{-1}=189.$$Hai dấu âm ở tử và mẫu triệt tiêu nhau; ai chỉ đổi dấu một chỗ sẽ ra $-189$.
$3+6+12+24+48+96$. Cộng dồn: $3+6=9$; $9+12=21$; $21+24=45$; $45+48=93$; $93+96=189$. Trùng khớp với công thức. Với cấp số nhân, phép cộng tay chỉ tốn vài giây khi $n$ nhỏ và là cách kiểm đáng tin nhất trong phòng thi.
$q=2$, $u_1=3$ và $S_6=189$.
Dùng nhầm $u_n=u_1q^n$ sẽ cho $q^3=8$ vẫn đúng nhưng $u_1=\dfrac{6}{4}=1{,}5$, và tổng thành $94{,}5$ — sai đúng một nửa. Bẫy thứ hai là trừ vế theo vế như bên cấp số cộng: $u_1q^4-u_1q=42$ không khử được $u_1$, làm bài rối thêm mà không tiến được bước nào.
Công thức $S_n=u_1\dfrac{1-q^n}{1-q}$ được suy ra với giả thiết $q\ne 1$, vì bước rút gọn có chia cho $1-q$. Vậy phải xét riêng $q=1$, không được coi nó là một trường hợp con.
Thay số vào công thức tổng:
$$5\cdot\dfrac{1-q^4}{1-q}=20\ \Rightarrow\ \dfrac{1-q^4}{1-q}=4\ \Rightarrow\ 1+q+q^2+q^3=4.$$Chuyển vế: $q^3+q^2+q-3=0$. Nhẩm thấy $q=1$ là nghiệm nên tách được thừa số:
$$q^3+q^2+q-3=(q-1)\left(q^2+2q+3\right)=0.$$Tam thức $q^2+2q+3=(q+1)^2+2$ luôn dương nên vô nghiệm. Nghiệm duy nhất là $q=1$ — nhưng trường hợp này ta đang giả thiết loại bỏ. Kết luận: không có giá trị nào của $q$ khác $1$ thoả mãn.
Khi $q=1$ mọi số hạng đều bằng $u_1$, nên $S_n=n\cdot u_1$. Ở đây $S_4=4\cdot 5=20$ — đúng bằng dữ kiện đề bài. Vậy $q=1$ là đáp số.
Với $q=1$ dãy là $5;5;5;5$, tổng bốn số hạng đầu bằng $20$ — khớp. Thử thêm một giá trị lân cận để thấy đáp số là duy nhất: với $q=2$ thì bốn số hạng là $5;10;20;40$ có tổng $75$, còn với $q=0{,}5$ thì là $5;2{,}5;1{,}25;0{,}625$ có tổng $9{,}375$. Cả hai đều khác $20$, đúng như kết luận rằng chỉ $q=1$ thoả mãn.
Công bội của cấp số nhân là $q=1$; dãy là dãy hằng $5;5;5;5;\dots$
Người làm ẩu sẽ thế thẳng $q=1$ vào $S_4=5\cdot\dfrac{1-1^4}{1-1}=\dfrac{0}{0}$ rồi kết luận «không xác định, vậy $q=1$ bị loại» và trả lời vô nghiệm. Đó chính là lỗi bài này muốn bắt: dạng $\dfrac{0}{0}$ nghĩa là công thức không dùng được, chứ không phải giá trị đó bị loại. Bẫy thứ hai là chia $1-q^4$ cho $1-q$ mà quên rằng phép chia này chỉ hợp lệ khi $q\ne 1$.