Phương trình lượng giác là chỗ mất điểm oan nhiều nhất của phần ôn lớp 11. Công thức thì hầu như ai cũng đọc thuộc, nhưng ba chỗ hỏng — quên điều kiện $|m|\le 1$, đem dấu $\pm$ của côsin gán cho sin, và cộng $k2\pi$ vào nghiệm của tang — thì năm nào cũng có người dính. Bài này dựng lại toàn bộ từ hình vẽ, để công thức thôi là thứ phải học thuộc lòng.
Trên đường tròn lượng giác, mỗi số thực $x$ xác định đúng một điểm ngọn $M$. Nhưng chiều ngược lại thì không một đối một: một điểm ngọn ứng với vô số số thực hơn kém nhau một bội nguyên của $2\pi$, vì quay thêm trọn một vòng thì về đúng chỗ cũ. Đó là toàn bộ lý do mọi công thức nghiệm đều kèm đuôi $+k2\pi$ hoặc $+k\pi$ với $k\in\mathbb{Z}$ — bỏ đuôi này là mất vô số nghiệm, và trong bài toán đếm nghiệm trên một đoạn thì hậu quả hiện ra ngay bằng con số.
Giải $\sin x=m$ nghĩa là: cắt đường tròn bằng đường thẳng nằm ngang ở độ cao $m$, xem cắt tại những điểm nào. Giải $\cos x=m$ thì cắt bằng đường thẳng đứng ở hoành độ $m$. Nhìn theo lối này, ba điều sau đây tự hiện ra mà không cần nhớ:
Đặt $\alpha$ là một góc thoả mãn phương trình (thường lấy $\alpha=\arcsin m$, $\arccos m$, $\arctan m$), khi đó:
| Phương trình | Có nghiệm khi | Công thức nghiệm ($k\in\mathbb{Z}$) |
|---|---|---|
| $\sin x=m$ | $|m|\le 1$ | $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$ |
| $\cos x=m$ | $|m|\le 1$ | $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha+k2\pi$ |
| $\tan x=m$ | mọi $m$ | $x=\alpha+k\pi$, điều kiện $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ |
| $\cot x=m$ | mọi $m$ | $x=\alpha+k\pi$, điều kiện $x\ne k\pi$ |
Vì sao tang và côtang chỉ cộng $k\pi$? Vì $\tan$ có chu kỳ $\pi$ chứ không phải $2\pi$: hai điểm ngọn đối xứng qua tâm cho cùng một giá trị tang. Viết $+k2\pi$ cho phương trình tang là đếm thiếu đúng một nửa số nghiệm — sai này không lộ ra khi chỉ viết công thức, nhưng lộ ngay khi đề hỏi «có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0;2\pi]$».
Ba giá trị $m=0$, $m=1$, $m=-1$ rơi vào đúng chỗ đường thẳng tiếp xúc hoặc đi qua tâm, nên chỉ còn một họ nghiệm:
Đáng chú ý: $\sin x=0$ và $\cos x=0$ đều cho họ nghiệm cách nhau $\pi$ (một họ duy nhất), còn $\sin x=1$ thì cách nhau $2\pi$. Nhầm $\cos x=0$ thành $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ làm mất một nửa nghiệm.
Công thức nghiệm không phải câu thần chú dùng được mọi lúc. Bốn chỗ nó hỏng, kèm dấu hiệu nhận ra:
Mọi phương trình dạng «hai hàm lượng giác bằng nhau» đều quy về hai khuôn sau, và đây là chỗ ăn điểm của mức vận dụng:
Gặp một vế sin, một vế côsin thì đổi bằng công thức phụ $\cos t=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$ rồi mới áp khuôn. Lưu ý không được rút gọn $\sin 2x=\sin x$ thành $2x=x$: làm thế là bỏ mất họ nghiệm $2x=\pi-x+k2\pi$, tức mất hẳn ba nghiệm trong mỗi vòng.
Đây là dạng hỏi phổ biến nhất của đề thi. Quy trình an toàn gồm ba bước: viết đủ các họ nghiệm; với từng họ, giải bất phương trình kép theo $k$; rồi lấy các giá trị $k$ nguyên trong khoảng vừa tìm. Ví dụ với họ $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ trên đoạn $[0;3\pi]$: từ $0\le\dfrac{\pi}{6}+k\pi\le 3\pi$ suy ra $-\dfrac{1}{6}\le k\le\dfrac{17}{6}$, nên $k\in\{0;1;2\}$, được ba nghiệm. Làm theo lối này thì không bao giờ đếm sót, và cũng không phải vẽ lại đường tròn.
Chia hai vế cho $2$ để vế phải là một giá trị lượng giác quen thuộc:
$$\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}.$$Vì $\left|\dfrac{\sqrt3}{2}\right|\le 1$ nên phương trình có nghiệm. Đặt $u=2x-\dfrac{\pi}{3}$, ta về đúng khuôn $\sin u=\sin\dfrac{\pi}{3}$.
Với sin, hai họ đối xứng qua trục tung nên là $u=\alpha+k2\pi$ và $u=\pi-\alpha+k2\pi$:
$$2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\quad\text{hoặc}\quad 2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi.$$Đây là chỗ hay mất một nửa số nghiệm: viết $u=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ là đang dùng công thức của côsin.
Họ thứ nhất: $2x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$, chia hai vế cho $2$ được $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$. Họ thứ hai: $2x=\pi+k2\pi$, chia cho $2$ được $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$. Hệ số của $k$ đổi từ $2\pi$ thành $\pi$ — quên chỗ này là mất một nửa nghiệm.
$$x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\quad\text{hoặc}\quad x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.$$Họ $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$: từ $0\le\dfrac{\pi}{3}+k\pi\le\pi$ suy ra $-\dfrac{1}{3}\le k\le\dfrac{2}{3}$, chỉ có $k=0$, cho $x=\dfrac{\pi}{3}$. Họ $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$: từ $0\le\dfrac{\pi}{2}+k\pi\le\pi$ suy ra $-\dfrac{1}{2}\le k\le\dfrac{1}{2}$, chỉ có $k=0$, cho $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Thay $x=\dfrac{\pi}{3}$: $2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$ và $2\sin\dfrac{\pi}{3}=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$ — đúng. Thay $x=\dfrac{\pi}{2}$: $2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ và $2\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sqrt3$ — đúng. Thử thêm một giá trị không thuộc tập nghiệm, chẳng hạn $x=\dfrac{\pi}{4}$: $2\sin\dfrac{\pi}{6}=1\ne\sqrt3$, đúng như mong đợi.
Tập nghiệm là $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$; trên đoạn $[0;\pi]$ có đúng hai nghiệm $\dfrac{\pi}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2}$.
Hai lỗi thường gặp cho ra hai đáp số sai rất gọn gàng nên dễ tin: quên chia $k2\pi$ cho $2$ thì được $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ và $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ — trên $[0;\pi]$ vẫn ra hai nghiệm nên không lộ, nhưng trên $[0;3\pi]$ thì đếm được $2$ thay vì $6$. Lỗi thứ hai là chỉ viết một họ nghiệm, khi đó trên $[0;\pi]$ chỉ còn một nghiệm.
Vế trái là $\cos x$, mà tập giá trị của côsin là đoạn $[-1;1]$. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi vế phải rơi vào đúng đoạn đó. Đây là bước bắt buộc, không phải bước phụ: bỏ qua nó là viết ra $\arccos$ của một số nằm ngoài miền xác định.
Điều kiện là
$$-1\le 2m-3\le 1\Leftrightarrow 2\le 2m\le 4\Leftrightarrow 1\le m\le 2.$$Chú ý cộng $3$ vào cả ba vế rồi mới chia $2$ cho cả ba vế. Nhiều bạn chỉ chia hai vế ngoài và giữ nguyên giữa, ra $1\le 2m\le 2$ tức $0{,}5\le m\le 1$ — lệch hẳn khỏi đáp số.
Khi $m=2$ thì $2m-3=1$, phương trình thành $\cos x=1$. Đây là trường hợp đặc biệt: đường thẳng đứng $x=1$ tiếp xúc đường tròn tại đúng một điểm, nên chỉ có một họ nghiệm
$$\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi,\ k\in\mathbb{Z}.$$Viết $x=\pm 0+k2\pi$ rồi tách thành hai họ là thừa, vì hai họ đó trùng nhau.
Với $m=1$ thì $2m-3=-1$, phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi+k2\pi$ — có nghiệm, đúng như kết luận. Với $m=2$ đã giải ở trên — có nghiệm. Còn với $m=2{,}5$ (nằm ngoài đoạn) thì $2m-3=2\gt 1$, đường thẳng đứng ở hoành độ $2$ không chạm đường tròn nên vô nghiệm. Hai đầu mút vào được, một điểm ngoài bị loại: đoạn $[1;2]$ là chính xác.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $1\le m\le 2$. Khi $m=2$, tập nghiệm là $x=k2\pi$ với $k\in\mathbb{Z}$.
Bẫy nặng nhất là bỏ hẳn bước điều kiện rồi bấm máy: máy tính cầm tay trả về «Math ERROR» chứ không trả về «vô nghiệm», nên người làm dễ tưởng mình bấm sai và loay hoay đổi đơn vị độ – radian. Bẫy thứ hai là nhớ nhầm tập giá trị của côsin thành $[0;1]$, khi đó ra $\dfrac{3}{2}\le m\le 2$ và mất một nửa đoạn đáp số.
Hàm tang không xác định tại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, nên phải có $3x-\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, tức $x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{3}$. Ghi lại để đối chiếu ở cuối; ở bài này nghiệm tìm được sẽ không rơi vào các giá trị đó.
Vì $\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ và tang tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ (không phải $2\pi$), ta có
$$3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi.$$Đây là điểm khác cốt lõi so với sin và côsin: tang chỉ sinh ra một họ nghiệm, nhưng khoảng cách giữa hai nghiệm liên tiếp là $\pi$ chứ không phải $2\pi$.
Cộng $\dfrac{\pi}{4}$ rồi chia $3$ cho cả hai vế, nhớ chia luôn hệ số của $k$:
$$3x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}+k\pi=\dfrac{7\pi}{12}+k\pi\ \Rightarrow\ x=\dfrac{7\pi}{36}+\dfrac{k\pi}{3}.$$Cần $x\lt 0$, tức $\dfrac{7\pi}{36}+\dfrac{k\pi}{3}\lt 0$. Chia hai vế cho $\pi$ rồi nhân $36$: $7+12k\lt 0$, suy ra $k\lt -\dfrac{7}{12}$. Số nguyên lớn nhất thoả mãn là $k=-1$, cho
$$x=\dfrac{7\pi}{36}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi-12\pi}{36}=-\dfrac{5\pi}{36}.$$Thế $x=-\dfrac{5\pi}{36}$: $3x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}=-\dfrac{8\pi}{12}=-\dfrac{2\pi}{3}$, mà $\tan\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ — đúng. Kiểm tiếp hai nghiệm kề: $k=0$ cho $x=\dfrac{7\pi}{36}\gt 0$ nên không nhận, $k=-2$ cho $x=-\dfrac{17\pi}{36}$ nhỏ hơn $-\dfrac{5\pi}{36}$. Vậy $-\dfrac{5\pi}{36}$ đúng là nghiệm âm lớn nhất.
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\dfrac{5\pi}{36}$.
Nếu viết nhầm $3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ thì được $x=\dfrac{7\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}{3}$ và nghiệm âm lớn nhất trở thành $-\dfrac{17\pi}{36}$ — vẫn là một nghiệm thật của phương trình, nhưng không phải nghiệm lớn nhất, vì nửa số nghiệm đã bị bỏ sót. Bẫy thứ hai là quên chia hệ số $k$ cho $3$, ra $x=\dfrac{7\pi}{36}+k\pi$ và cho đáp số $-\dfrac{29\pi}{36}$.