Ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm — số trung bình, trung vị và mốt — đều trả lời cùng một câu hỏi: «giá trị nào đại diện cho cả mẫu?» Chúng thường cho ba con số khác nhau, và phần khó của bài không phải là tính, mà là biết chọn số nào và biết khi nào số đó nói dối. Đây cũng là nền để lên lớp 12 học các số đo mức độ phân tán.
Với mẫu $x_1,x_2,\dots,x_n$, số trung bình là $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$. Khi số liệu cho bằng bảng tần số, giá trị $x_i$ xuất hiện $n_i$ lần thì
$$\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_kx_k}{n},\qquad n=n_1+n_2+\dots+n_k.$$Tần số là trọng số, không được bỏ. Đây là lỗi hay gặp nhất ở dạng bảng: lấy trung bình cộng của các giá trị khác nhau thay vì của toàn bộ số liệu. Với bảng $1$ (ba lần), $2$ (năm lần), $3$ (hai lần), $4$ (hai lần) thì $\bar{x}=\dfrac{3+10+6+8}{12}=2{,}25$, chứ không phải $\dfrac{1+2+3+4}{4}=2{,}5$.
Hệ quả rất tiện: $n\bar{x}$ chính là tổng mọi giá trị. Nhờ đó mọi bài dạng «thêm một giá trị», «bớt một giá trị», «gộp hai nhóm» đều quy về cộng trừ tổng rồi chia lại cho cỡ mẫu mới.
Bước bắt buộc trước mọi phép tính: sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm. Bỏ bước này thì mọi kết quả sau đó đều sai, và nó lại là bước dễ quên nhất vì đề thường cho số liệu lộn xộn.
Tứ phân vị chia mẫu thành bốn phần: $Q_2$ chính là trung vị; $Q_1$ là trung vị của nửa dưới, $Q_3$ là trung vị của nửa trên. Quy ước quan trọng: khi $n$ lẻ thì giá trị trung vị không được tính vào nửa nào cả. Với mẫu $9$ giá trị, nửa dưới gồm $4$ giá trị đầu và nửa trên gồm $4$ giá trị cuối.
Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. Khác hai số kia, mốt là số duy nhất dùng được cho dữ liệu định tính: hỏi «màu áo được chọn nhiều nhất» thì có mốt, nhưng không có số trung bình. Đổi lại, mốt có hai chỗ hỏng: một mẫu có thể có nhiều mốt (hai giá trị cùng tần số cao nhất), và nếu mọi giá trị chỉ xuất hiện đúng một lần thì mốt không mang thông tin gì.
Lý do nằm ngay trong công thức chứ không phải kinh nghiệm. Số trung bình được tính từ tổng mọi giá trị, nên đổi một giá trị thành lớn hơn là kéo cả tổng lên: cộng thêm $80$ vào một số liệu của mẫu $10$ phần tử thì $\bar{x}$ tăng đúng $8$. Trung vị chỉ đọc vị trí của giá trị đứng giữa dãy đã sắp xếp, nên nâng giá trị lớn nhất lên bao nhiêu cũng không đổi thứ tự và không đổi trung vị.
Vì vậy có một quy tắc chọn số đo rất thực dụng:
| Tình huống | Nên dùng | Vì sao |
|---|---|---|
| Mẫu tương đối đối xứng, không có giá trị bất thường | Số trung bình | Dùng hết mọi số liệu nên tận dụng được nhiều thông tin nhất |
| Mẫu có vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ (thu nhập, giá nhà, thời gian chờ) | Trung vị | Không bị đuôi dài kéo đi, mô tả đúng «người ở giữa» |
| Dữ liệu định tính hoặc cần biết lựa chọn phổ biến nhất | Mốt | Là số đo duy nhất còn dùng được khi không cộng trừ số liệu được |
| Cần suy ra tổng (tổng doanh thu, tổng điểm cả lớp) | Số trung bình | Chỉ có $\bar{x}$ mới cho $n\bar{x}$ bằng tổng; trung vị không làm được việc này |
Khi số liệu quá nhiều, người ta ghép chúng thành các nhóm $[a_i;a_{i+1})$ rồi coi cả nhóm như tập trung tại trung điểm của nhóm. Mọi công thức ở trên vẫn giữ nguyên hình dạng, chỉ thay $x_i$ bằng giá trị đại diện $c_i$ của nhóm, và kết quả trở thành xấp xỉ chứ không còn chính xác. Nắm chắc phần này thì lên chương thống kê lớp 12 chỉ còn việc thay ký hiệu.
Dãy đã sắp xếp không giảm: $7$, $7$, $9$, $12$, $14$, $15$, $20$. Bước này không phục vụ số trung bình (cộng theo thứ tự nào cũng ra một tổng), nhưng bắt buộc cho trung vị và mốt, nên làm luôn từ đầu cho gọn.
Cỡ mẫu $n=7$ là số lẻ nên trung vị là giá trị đứng ở vị trí thứ $\dfrac{7+1}{2}=4$ trong dãy đã sắp xếp. Đếm từ trái: $7$, $7$, $9$, $\mathbf{12}$ — vậy $M_e=12$.
Giá trị $7$ xuất hiện hai lần, mọi giá trị khác chỉ một lần, nên $M_o=7$.
Kiểm số trung bình bằng phép thử biên: $\bar{x}=12$ phải nằm giữa giá trị nhỏ nhất $7$ và lớn nhất $20$ — đúng. Kiểm thêm bằng cách cộng độ lệch so với $12$: $(-5)+(-5)+(-3)+0+2+3+8=0$; tổng các độ lệch so với số trung bình bao giờ cũng bằng $0$, nếu ra khác $0$ là đã cộng sai. Kiểm trung vị bằng cách đếm ngược từ phải sang: $20$, $15$, $14$, $\mathbf{12}$ — vẫn ra vị trí thứ tư, và hai bên đều còn đúng ba giá trị.
Số trung bình bằng $12$, trung vị bằng $12$, mốt bằng $7$. Ở mẫu này số trung bình và trung vị trùng nhau, dấu hiệu của một mẫu khá cân đối, còn mốt lệch hẳn xuống dưới vì nó chỉ nói giá trị nào hay lặp lại chứ không nói về vị trí trung tâm.
Bẫy thứ nhất là lấy ngay giá trị thứ tư của dãy gốc làm trung vị, tức lấy $9$ thay vì $12$. Bẫy thứ hai là nhầm mốt với tần số của nó: đáp số là $7$ (giá trị), không phải $2$ (số lần xuất hiện).
Con số $9$ này đã lớn hơn lương của bảy trên tám người, ngay lập tức là một dấu hiệu đáng ngờ.
Mẫu đã sắp xếp sẵn, cỡ mẫu $n=8$ là số chẵn nên trung vị là trung bình của giá trị thứ tư và thứ năm:
$$M_e=Q_2=\dfrac{6+6}{2}=6.$$Nửa dưới gồm bốn giá trị $4$, $5$, $5$, $6$ nên $Q_1=\dfrac{5+5}{2}=5$. Nửa trên gồm $6$, $7$, $8$, $31$ nên $Q_3=\dfrac{7+8}{2}=7{,}5$.
Số trung bình $9$ lớn hơn cả $Q_3=7{,}5$, tức nằm ngoài phạm vi của ba phần tư số liệu. Nguyên nhân là giá trị $31$: nó tham gia vào tổng nên kéo $\bar{x}$ lên, trong khi trung vị chỉ đọc vị trí nên không bị ảnh hưởng.
Thử thay giá trị $31$ bằng $61$ rồi tính lại: tổng thành $102$ nên $\bar{x}=12{,}75$, tăng vọt; còn dãy sắp xếp vẫn là $4$, $5$, $5$, $6$, $6$, $7$, $8$, $61$ nên giá trị thứ tư và thứ năm vẫn là $6$ và $6$, trung vị vẫn bằng $6$. Phép thử này chứng minh trực tiếp tính bền của trung vị. Kiểm thêm cỡ mẫu bằng cách đếm ngược: nửa dưới $4$ giá trị cộng nửa trên $4$ giá trị bằng $8$, đúng cỡ mẫu — nếu cộng lại không ra $n$ thì đã chia đôi sai.
$\bar{x}=9$; $Q_1=5$; $M_e=Q_2=6$; $Q_3=7{,}5$. Mức lương điển hình nên báo cáo bằng trung vị $6$ triệu đồng, vì mẫu có một giá trị dị biệt kéo số trung bình ra khỏi vùng tập trung của số liệu.
Bẫy thứ nhất là kết luận «số trung bình sai». Nó không sai: $9$ triệu vẫn là con số đúng và vẫn cần thiết nếu muốn biết tổng quỹ lương ($8\cdot 9=72$ triệu). Nó chỉ không đại diện cho một người điển hình. Bẫy thứ hai là khi tính $Q_1$ lại tính trung vị của cả mẫu rồi chia đôi khoảng, thay vì lấy trung vị của riêng nửa dưới.
Phản xạ đầu tiên của nhiều người là lấy $\dfrac{6{,}5+9}{2}=7{,}75$. Cách này chỉ đúng khi hai tổ có cùng số học sinh. Ở đây tổ 2 đông hơn tổ 1 nên tiếng nói của tổ 2 phải nặng hơn; đáp số bắt buộc phải lệch về phía $9$.
Đây là bước then chốt: trung bình không cộng được, nhưng tổng thì cộng được. Dùng hệ thức $\text{tổng}=n\cdot\bar{x}$:
$$T_1=12\cdot 6{,}5=78,\qquad T_2=18\cdot 9=162.$$Kiểm biên: $8$ phải nằm giữa $6{,}5$ và $9$ — đúng, và nó gần $9$ hơn gần $6{,}5$, phù hợp với việc tổ 2 đông hơn. Kiểm bằng độ lệch có trọng số: so với $8$, tổ 1 lệch $-1{,}5$ trên $12$ học sinh cho $-18$; tổ 2 lệch $+1$ trên $18$ học sinh cho $+18$; hai phần bù trừ nhau đúng bằng $0$, xác nhận $8$ là điểm cân bằng. Nếu tổng độ lệch có trọng số khác $0$ thì đáp số sai.
Số giờ tự học trung bình mỗi tuần của cả $30$ học sinh là $8$ giờ.
Đáp án sai kinh điển là $7{,}75$ — trung bình cộng của hai số trung bình. Sai số $0{,}25$ nghe nhỏ nhưng nó là lỗi phương pháp: chênh lệch càng lớn khi hai nhóm càng lệch cỡ. Bẫy thứ hai là chia cho $2$ thay vì chia cho $30$ ở bước cuối, cho $120$ — một con số vô lý ngay từ phép thử biên.