Phần này trả lời một câu hỏi rất thực tế: có hạn chế về nguyên liệu, thời gian, tiền vốn thì nên làm bao nhiêu mỗi thứ để lãi cao nhất? Công cụ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Toán học đằng sau chỉ gồm hai việc — vẽ được miền nghiệm và biết cực trị nằm ở đâu — nhưng cả hai việc đều có chỗ hỏng mà đề thi nhắm rất trúng.
Bất phương trình dạng $ax+by\le c$ (hoặc $\lt$, $\ge$, $\gt$) với $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$ gọi là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đường thẳng $d:ax+by=c$ chia mặt phẳng thành hai nửa; miền nghiệm là một trong hai nửa mặt phẳng đó, kể cả bờ $d$ nếu bất phương trình có dấu bằng.
Cách xác định nửa nào, ba bước: vẽ $d$; chọn một điểm thử $M(x_0;y_0)$ không nằm trên $d$; thay vào. Nếu bất phương trình đúng thì nửa mặt phẳng chứa $M$ là miền nghiệm, nếu sai thì lấy nửa còn lại.
Chỗ hỏng thứ nhất. Thói quen là luôn lấy $M=O(0;0)$ cho nhanh. Nhưng khi $c=0$ thì $d$ đi qua gốc toạ độ, $O$ nằm trên bờ nên không dùng làm điểm thử được — thay vào sẽ ra đẳng thức và không kết luận được gì. Với các bất phương trình như $3x-y\ge 0$ hay $x+2y\lt 0$ phải chọn điểm khác, chẳng hạn $(1;0)$ hoặc $(0;1)$.
Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm thành phần: điểm phải thoả đồng thời mọi bất phương trình. Giao của các nửa mặt phẳng luôn là một miền lồi, và với các bài trong chương trình nó thường là một đa giác lồi (tam giác, tứ giác, ngũ giác). Toạ độ mỗi đỉnh chính là nghiệm của hệ hai phương trình ứng với hai đường thẳng cắt nhau tại đó.
Ba ràng buộc gần như luôn xuất hiện trong bài thực tiễn là $x\ge 0$, $y\ge 0$ (số lượng không âm) và các ràng buộc tài nguyên. Chính $x\ge 0$ và $y\ge 0$ khoá miền lại về góc phần tư thứ nhất, và thường là thứ giúp miền trở nên bị chặn.
Đây là phần cần hiểu chứ không nên học thuộc. Xét biểu thức $F=ax+by$ trên miền nghiệm $S$.
Kết luận dùng được ngay: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $F$ luôn đạt tại ít nhất một đỉnh của miền nghiệm. Nhờ đó bài toán từ chỗ phải xét vô hạn điểm rút về việc tính $F$ tại vài ba đỉnh rồi so sánh.
| Bước | Làm gì | Chỗ hay hỏng |
|---|---|---|
| 1 | Đặt ẩn $x$, $y$ và nói rõ đơn vị | Đặt ẩn mơ hồ thì mọi ràng buộc viết sai theo |
| 2 | Lập hệ bất phương trình từ các ràng buộc, đừng quên $x\ge 0$, $y\ge 0$ | Ghép nhầm hệ số của hai loại tài nguyên vào cùng một dòng |
| 3 | Viết biểu thức $F$ cần tối ưu | Lẫn giữa «lãi trên một sản phẩm» và «giá bán» |
| 4 | Vẽ miền nghiệm, tìm toạ độ mọi đỉnh | Bỏ sót một đỉnh — thường là đỉnh nằm trên trục toạ độ |
| 5 | Tính $F$ tại từng đỉnh, so sánh, đối chiếu điều kiện thực tế | Trả lời giá trị $F$ khi đề hỏi $x$, $y$ hoặc ngược lại |
Một mẹo kiểm tra rẻ tiền mà hiệu quả: sau khi có đỉnh tối ưu, hãy thử một điểm khác nằm trong miền và tính $F$ tại đó. Nếu ra số lớn hơn giá trị vừa gọi là «lớn nhất» thì chắc chắn đã sót đỉnh hoặc viết sai ràng buộc.
Hai bất phương trình $x\ge 0$ và $y\ge 0$ giữ miền nằm trong góc phần tư thứ nhất. Với $x+y\le 6$, vẽ đường $x+y=6$ rồi thử điểm $O(0;0)$: $0\le 6$ đúng, nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$, tức phía dưới đường. Với $2x+y\le 8$ thử $O$: $0\le 8$ đúng, cũng lấy phía dưới. Ở cả hai lần, điểm $O$ dùng được vì hai đường không đi qua gốc toạ độ.
Mỗi đỉnh là giao của đúng hai đường biên. Đi vòng quanh miền:
Chú ý điểm $(6;0)$ nằm trên đường $x+y=6$ nhưng không là đỉnh, vì $2\cdot 6+0=12\gt 8$ nên nó bị ràng buộc thứ hai loại ra.
Thay từng đỉnh vào cả bốn bất phương trình, phải thoả hết. Với $B(2;4)$: $2\ge 0$ đúng, $4\ge 0$ đúng, $2+4=6\le 6$ đúng (dấu bằng, nên $B$ nằm trên bờ), $2\cdot 2+4=8\le 8$ đúng (cũng dấu bằng). $B$ nằm trên đúng hai bờ nên nó là đỉnh, không phải điểm trong. Thử thêm một điểm trong miền như $(1;2)$: $3\le 6$ và $4\le 8$ đều đúng — miền không rỗng. Và thử $(3;3)$: $6\le 6$ đúng nhưng $2\cdot 3+3=9\gt 8$ sai, nên $(3;3)$ nằm ngoài miền, phù hợp với hình vẽ.
Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(2;4)$, $C(0;6)$. Miền này đóng và bị chặn nên mọi biểu thức bậc nhất đều có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất trên đó.
Bẫy phổ biến nhất là lấy $(6;0)$ và $(0;8)$ làm đỉnh vì thấy chúng nằm trên hai đường biên. Một điểm nằm trên một đường biên chỉ là đỉnh khi nó thoả toàn bộ các bất phương trình còn lại. Luôn kiểm chéo từng ứng viên đỉnh với mọi ràng buộc trước khi đưa vào bảng tính.
Miền đã cho là một tứ giác, tức đóng và bị chặn, nên cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất đều tồn tại và đều rơi vào đỉnh. Không cần vẽ lại hình, không cần thử điểm bên trong.
Số lớn nhất trong cột $F$ là $14$, đạt tại $B(2;4)$; số nhỏ nhất là $0$, đạt tại $O(0;0)$. Chú ý hai đỉnh $A$ và $C$ cho cùng giá trị $12$ — chuyện bình thường, chỉ có nghĩa là đường mức $3x+2y=12$ đi qua cả hai điểm ấy.
Thử vài điểm bất kỳ nằm trong miền để xem có điểm nào vượt $14$ không: tại $(1;2)$ được $F=3+4=7$; tại $(2;3)$ được $F=6+6=12$; tại $(1;4)$ — kiểm trước rằng điểm này thuộc miền vì $1+4=5\le 6$ và $2+4=6\le 8$ — được $F=3+8=11$. Không điểm nào vượt $14$, cũng không điểm nào âm. Kiểm bằng ý nghĩa hình học: đường $3x+2y=14$ đi qua $B$; nếu đẩy lên thành $3x+2y=15$ thì đường này không còn điểm chung với tứ giác, đúng như trông đợi.
Trên miền nghiệm đã cho, $F$ đạt giá trị lớn nhất bằng $14$ tại điểm $(2;4)$ và giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại điểm $(0;0)$.
Bẫy thứ nhất là chọn đỉnh «nhìn xa gốc toạ độ nhất». Ở đây $C(0;6)$ trông xa hơn $A(4;0)$ nhưng hai đỉnh cho cùng một giá trị, và cả hai đều thua $B$. Khoảng cách tới gốc không quyết định gì cả, hệ số $a$ và $b$ mới quyết định. Bẫy thứ hai là quên đỉnh $O(0;0)$ khi tìm giá trị nhỏ nhất — đỉnh gốc rất hay bị bỏ sót vì trông không giống một «kết quả».
Gọi $x$ là số sản phẩm loại A và $y$ là số sản phẩm loại B, với $x\ge 0$, $y\ge 0$. Hai ràng buộc tài nguyên viết theo từng loại tài nguyên, không viết theo từng sản phẩm: giờ máy cho $2x+y\le 10$, nguyên liệu cho $x+2y\le 14$.
Tổng lãi tính bằng nghìn đồng là $F=300x+400y$. Vì cả hai hệ số đều chia hết cho $100$, có thể tối ưu $F'=3x+4y$ cho gọn rồi nhân lại $100$ ở bước cuối — cách này giảm hẳn số phép tính lớn.
Đỉnh gốc là $O(0;0)$. Trên trục hoành ($y=0$): ràng buộc giờ máy cho $x\le 5$, ràng buộc nguyên liệu cho $x\le 14$, chặt hơn là $x\le 5$ nên đỉnh là $(5;0)$. Trên trục tung ($x=0$): giờ máy cho $y\le 10$, nguyên liệu cho $y\le 7$, chặt hơn là $y\le 7$ nên đỉnh là $(0;7)$. Đỉnh còn lại là giao của hai đường ràng buộc:
$$\begin{cases}2x+y=10\\ x+2y=14\end{cases}\ \Rightarrow\ 4x+2y=20\ \text{trừ}\ x+2y=14\ \Rightarrow\ 3x=6\ \Rightarrow\ x=2,\ y=6.$$Lãi lớn nhất là $3\,000$ nghìn đồng, tức $3$ triệu đồng, tại $x=2$ và $y=6$. Hai giá trị này đều là số nguyên nên hợp lệ với bài toán đếm sản phẩm.
Kiểm tài nguyên có bị vượt không: giờ máy dùng $2\cdot 2+6=10$ đúng bằng $10$ giờ có sẵn; nguyên liệu dùng $2+2\cdot 6=14$ đúng bằng $14$ kg. Cả hai vừa khít, dấu hiệu điển hình của một nghiệm tối ưu. Thử thêm hai phương án nguyên khác nằm trong miền: $(3;5)$ cần $11$ giờ máy nên vượt, loại; $(1;6)$ hợp lệ nhưng lãi $300+2\,400=2\,700$ nghìn, thấp hơn; $(4;3)$ cần $11$ giờ máy, loại; $(3;4)$ cần $10$ giờ máy và $11$ kg, hợp lệ, lãi $900+1\,600=2\,500$ nghìn, vẫn thấp hơn. Không phương án nào vượt $3\,000$.
Xưởng nên làm $2$ sản phẩm loại A và $6$ sản phẩm loại B; tổng lãi lớn nhất là $3\,000$ nghìn đồng, tức $3$ triệu đồng.
Bẫy nặng nhất là viết ràng buộc theo sản phẩm thay vì theo tài nguyên, ra hệ $2x+y\le 10$ và $2x+y\le 14$ — hai dòng cùng dạng là dấu hiệu chắc chắn đã ghép nhầm hệ số. Bẫy thứ hai là thấy lãi mỗi sản phẩm loại B cao hơn rồi vội dồn hết vào loại B, được $(0;7)$ với lãi $2\,800$ nghìn — thua đáp số đúng $200$ nghìn. Lãi đơn vị cao không đồng nghĩa với phương án tổng thể tốt nhất, vì loại B ngốn nguyên liệu gấp đôi.