Hàm số bậc hai là hàm $y=ax^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Điều kiện $a\ne 0$ không phải chi tiết trang trí: mất nó thì đồ thị tụt xuống thành đường thẳng, không còn đỉnh, không còn trục đối xứng, và mọi công thức dưới đây đều vô nghĩa. Đề thi tốt nghiệp hỏi phần này ở mức cơ bản, nhưng đây lại là chỗ mất điểm oan nhiều nhất vì học viên học nó từ lớp 10 rồi để nguội ba năm.
Đừng học thuộc công thức đỉnh. Hãy biến đổi một lần cho hiểu, rồi công thức tự nhớ:
$$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\dfrac{b^2}{4a}\right)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}.$$Trong biểu thức cuối, phần $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ không bao giờ âm và bằng $0$ đúng một lần, tại $x=-\dfrac{b}{2a}$. Vậy:
Đây chính là câu trả lời cho thắc mắc quen thuộc «vì sao giá trị nhỏ nhất lại nằm ở đỉnh»: nó chỉ nằm ở đỉnh khi $a\gt 0$. Với $a\lt 0$ thì đỉnh là chỗ cao nhất chứ không phải thấp nhất. Nhớ dấu của $a$ trước, nhớ công thức sau.
Đặt $x_I=-\dfrac{b}{2a}$ và $y_I=-\dfrac{\Delta}{4a}$. Với $a\gt 0$:
Bảng này trả lời gọn bốn loại câu hỏi hay ra: khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, và tập giá trị. Với $a\gt 0$ tập giá trị là $[y_I;+\infty)$; với $a\lt 0$ là $(-\infty;y_I]$. Trục đối xứng là đường thẳng $x=x_I$, và hệ quả dùng được ngay: $f(x_I-t)=f(x_I+t)$ với mọi $t$ — hai điểm cách đều đỉnh thì cùng tung độ.
Ba chỗ công thức quen thuộc không còn đúng, và đề thi nhắm đúng vào đó:
Ba dữ kiện độc lập là đủ để tìm $a$, $b$, $c$. Mỗi loại dữ kiện cho một phương trình:
| Dữ kiện | Phương trình thu được |
|---|---|
| Đi qua điểm $M(x_0;y_0)$ | $ax_0^2+bx_0+c=y_0$ |
| Có đỉnh $I(p;q)$ | $-\dfrac{b}{2a}=p$ và $ap^2+bp+c=q$ (hai phương trình) |
| Trục đối xứng $x=p$ | $b=-2ap$ |
| Cắt $Oy$ tại tung độ $k$ | $c=k$ |
Mẹo rút ngắn hay dùng: biết đỉnh $I(p;q)$ thì viết ngay dạng $y=a(x-p)^2+q$, chỉ còn một ẩn $a$, thay thêm một điểm là xong. Cách này ngắn hơn giải hệ ba ẩn rất nhiều.
Gần như mọi bài ứng dụng đều theo đúng trình tự này: (1) đặt ẩn và nêu điều kiện; (2) biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm bậc hai của ẩn đó; (3) tìm đỉnh và đối chiếu với điều kiện; (4) trả lời đúng thứ đề hỏi — hỏi giá vé thì trả giá vé, hỏi doanh thu thì trả doanh thu. Bước 4 nghe thừa nhưng đây là lỗi mất điểm phổ biến nhất ở dạng này: tính đúng $x$ rồi khoanh luôn $x$ trong khi đề hỏi $f(x)$.
Đây là hàm bậc hai với $a=2$, $b=-8$, $c=5$. Việc đầu tiên luôn là nhìn dấu $a$: ở đây $a=2\gt 0$ nên bề lõm quay lên, đỉnh là điểm thấp nhất. Kết luận này đã đủ để biết hàm có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất, trước khi tính một con số nào.
Hoành độ đỉnh và tung độ đỉnh:
$$x_I=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{2\cdot 2}=2,\qquad y_I=f(2)=2\cdot 2^{2}-8\cdot 2+5=8-16+5=-3.$$Vậy đỉnh là $I(2;-3)$ và trục đối xứng là đường thẳng $x=2$.
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty)$, tập giá trị là $[-3;+\infty)$.
Cách một: hoàn thành bình phương trực tiếp, $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5=2(x-2)^{2}-8+5=2(x-2)^{2}-3$. Vì $2(x-2)^{2}\ge 0$ nên $y\ge -3$, dấu bằng khi $x=2$ — trùng kết quả. Cách hai: dùng tính đối xứng, thử hai điểm cách đều đỉnh là $x=1$ và $x=3$: $f(1)=2-8+5=-1$ và $f(3)=18-24+5=-1$. Hai giá trị bằng nhau đúng như trục đối xứng $x=2$ đòi hỏi, và cả hai đều lớn hơn $-3$.
Đỉnh $I(2;-3)$, trục đối xứng $x=2$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-3$ đạt tại $x=2$. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
Rất nhiều bài mất điểm ở dấu trừ trong $-\dfrac{b}{2a}$: thay $b=-8$ rồi viết $x_I=-\dfrac{8}{4}=-2$, ra đỉnh $(-2;29)$. Bẫy thứ hai là trả lời giá trị nhỏ nhất bằng $2$ — đó là hoành độ đỉnh, không phải giá trị của hàm. Đề hỏi «giá trị nhỏ nhất» thì đáp số phải là tung độ.
Ở đây $a=-1\lt 0$, $b=4$ nên $x_I=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$ và $y_I=-4+8-1=3$. Nếu bài hỏi trên toàn $\mathbb{R}$ thì đáp số là giá trị lớn nhất bằng $3$. Nhưng đề chặn lại trên đoạn $[3;5]$.
Ta có $x_I=2$ mà đoạn xét là $[3;5]$, tức $x_I\notin[3;5]$. Đây là chỗ công thức $y_I=-\dfrac{\Delta}{4a}$ hỏng: giá trị $3$ không hề đạt được trên đoạn này. Vì $a\lt 0$ và cả đoạn nằm bên phải đỉnh nên hàm số nghịch biến trên $[3;5]$.
Hàm giảm nên đầu trái cho giá trị lớn nhất, đầu phải cho giá trị nhỏ nhất.
Thử một giá trị nằm giữa đoạn, chẳng hạn $x=4$: $f(4)=-16+16-1=-1$. Kết quả $-1$ nằm đúng giữa $2$ và $-6$, phù hợp với việc hàm giảm đều từ $2$ xuống $-6$. Thử thêm $x=3{,}5$: $f(3{,}5)=-12{,}25+14-1=0{,}75$, vẫn nằm trong khoảng $[-6;2]$ và nhỏ hơn $f(3)$. Không có giá trị nào vượt quá $2$, xác nhận đáp số.
Trên đoạn $[3;5]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ tại $x=3$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-6$ tại $x=5$.
Đáp án sai kinh điển là «giá trị lớn nhất bằng $3$» — lấy tung độ đỉnh mà quên kiểm $x_I=2$ có nằm trong $[3;5]$ hay không. Bẫy thứ hai là thấy $a\lt 0$ rồi kết luận ngay «đầu mút phải cho giá trị lớn nhất»; chiều biến thiên phụ thuộc vị trí đoạn so với đỉnh, không phụ thuộc riêng dấu của $a$.
Đặt gốc toạ độ tại mặt đất, ngay dưới điểm cao nhất; trục hoành là mặt đất, trục tung là trục đối xứng của cổng. Khi đó đỉnh là $I(0;4)$, nên $b=0$ và phương trình rút gọn còn $y=ax^{2}+4$. Chọn gốc kiểu khác vẫn ra cùng đáp số nhưng phải giải hệ ba ẩn — chọn hệ toạ độ là một bước tính toán thật sự, không phải hình thức.
Chân cổng rộng $6$ m nên hai chân nằm tại $x=-3$ và $x=3$, ở đó $y=0$:
$$0=a\cdot 3^{2}+4\ \Rightarrow\ 9a=-4\ \Rightarrow\ a=-\dfrac{4}{9}.$$Vậy $y=-\dfrac{4}{9}x^{2}+4$. Dấu âm của $a$ là hợp lý vì cổng phải cong xuống.
Cổng cao $3$ m tại chỗ cách trục $1{,}5$ m.
Xe rộng $3$ m đi chính giữa nên hai mép xe nằm tại $x=-1{,}5$ và $x=1{,}5$. Chiều cao thấp nhất của cổng trên bề rộng xe chiếm chính là ở hai mép, bằng $3$ m. Vì $3\lt 3{,}2$ nên xe không qua lọt: nóc xe sẽ chạm cổng ở hai mép, dù ở chính giữa cổng vẫn còn cao $4$ m.
Thay một giá trị khác vào phương trình để xem hình dạng có hợp lý không: $y(3)=-\dfrac{4}{9}\cdot 9+4=0$ đúng là chân cổng, và $y(0)=4$ đúng là đỉnh. Thử $x=2$: $y=-\dfrac{16}{9}+4\approx 2{,}22$ — nhỏ hơn $3$ như trông đợi vì càng ra xa trục thì cổng càng thấp. Ba mốc $4$, $3$ và $0$ giảm dần đúng theo thứ tự $x=0$, $x=1{,}5$, $x=3$, xác nhận không có lỗi dấu.
Tại vị trí cách trục đối xứng $1{,}5$ m, cổng cao $3$ m. Xe tải rộng $3$ m cao $3{,}2$ m không đi lọt cổng.
Lỗi hay gặp nhất là so chiều cao xe với $4$ m rồi kết luận «lọt». Chiều cao $4$ m chỉ có ở đúng một điểm là trục đối xứng, còn xe thì chiếm cả một dải rộng $3$ m — phải so với chiều cao tại mép xe. Lỗi thứ hai là lấy chân cổng ở $x=6$ thay vì $x=3$ vì quên rằng $6$ m là bề rộng cả hai bên trục đối xứng.