Quy luật Mendel cho ta biết một cặp bố mẹ sinh ra đời con thế nào. Hardy – Weinberg trả lời câu hỏi lớn hơn: cả một quần thể thì thành phần kiểu gene biến đổi ra sao qua các thế hệ. Câu trả lời gây bất ngờ ở thời điểm nó ra đời — nếu không có gì tác động thì thành phần đó không đổi, kể cả khi allele lặn rất hiếm.
Xét một gene có hai allele A và a. Gọi $p$ là tần số allele A, $q$ là tần số allele a. Vì mỗi cá thể lưỡng bội mang đúng hai allele của cặp nên $$p + q = 1.$$ Nếu quần thể có cấu trúc $d$ AA : $h$ Aa : $r$ aa (với $d+h+r=1$) thì: $$p = d + \dfrac{h}{2},\qquad q = r + \dfrac{h}{2}.$$ Lý do chia đôi phần dị hợp: cá thể Aa góp một allele A và một allele a vào vốn gene, nên nó chỉ tính một nửa cho mỗi bên.
Trong một quần thể ngẫu phối đủ lớn và không chịu tác động của các nhân tố tiến hoá, tần số allele và thành phần kiểu gene được duy trì không đổi qua các thế hệ, với thành phần kiểu gene tuân theo $$p^2 + 2pq + q^2 = 1,$$ tức tần số kiểu gene AA là $p^2$, Aa là $2pq$ và aa là $q^2$. Đây chính là khai triển của $(p+q)^2$ — hệ quả trực tiếp của việc giao tử đực và giao tử cái kết hợp ngẫu nhiên.
| Điều kiện | Bị vi phạm thì sao |
|---|---|
| Quần thể giao phối ngẫu nhiên (ngẫu phối) | Tự thụ phấn hoặc giao phối cận huyết làm tỉ lệ dị hợp giảm dần, đồng hợp tăng dần |
| Kích thước quần thể đủ lớn | Quần thể nhỏ chịu yếu tố ngẫu nhiên, tần số allele trôi dạt thất thường |
| Không có đột biến | Đột biến làm allele này chuyển thành allele kia, tần số allele đổi |
| Không có chọn lọc tự nhiên | Kiểu gene có sức sống, sức sinh sản khác nhau thì tần số allele bị đẩy về một phía |
| Không có di – nhập gene | Cá thể ra vào mang theo allele, làm vốn gene thay đổi |
Trong đó ngẫu phối là điều kiện phải kiểm trước tiên. Đề nào nói “quần thể tự thụ phấn”, “quần thể giao phối cận huyết” thì không được áp công thức $p^2+2pq+q^2=1$ cho thế hệ sau.
Chiều thứ nhất — từ kiểu gene ra allele. Cho cấu trúc quần thể, dùng $p=d+\dfrac{h}{2}$. Chiều này luôn làm được, không cần quần thể cân bằng.
Chiều thứ hai — từ allele ra kiểu gene. Chỉ làm được khi quần thể đã cân bằng: $q=\sqrt{q^2}$, lấy căn bậc hai của tần số kiểu hình lặn, rồi $p=1-q$ và tính $2pq$. Trong thực tế đây là chiều hay dùng nhất, vì kiểu hình lặn là thứ duy nhất đếm được trực tiếp: người bị bệnh, cây hoa trắng, bò lông trắng.
| Đại lượng | Công thức | Ví dụ với $q^2=0{,}04$ |
|---|---|---|
| Tần số allele lặn | $q=\sqrt{q^2}$ | $q=0{,}2$ |
| Tần số allele trội | $p=1-q$ | $p=0{,}8$ |
| Đồng hợp trội | $p^2$ | $0{,}64$ |
| Dị hợp (người mang gene) | $2pq$ | $0{,}32$ |
| Kiểu hình trội | $p^2+2pq=1-q^2$ | $0{,}96$ |
Cách kiểm nhanh nhất: tính $p$ và $q$ từ cấu trúc đã cho, rồi so tần số dị hợp thực tế với $2pq$. Lệch là không cân bằng. Cách tương đương thường nhanh hơn khi bấm máy là kiểm đẳng thức $$h^2 = 4dr,$$ suy ra từ $\left(2pq\right)^2 = 4p^2q^2$. Ví dụ quần thể $0{,}4$ AA : $0{,}2$ Aa : $0{,}4$ aa có $h^2=0{,}04$ trong khi $4dr=0{,}64$, nên chưa cân bằng.
Điểm cần nhớ: một quần thể chưa cân bằng chỉ cần một thế hệ ngẫu phối là đạt cân bằng ngay, và cấu trúc mới được tính từ chính $p$, $q$ của thế hệ trước — vì ngẫu phối không làm thay đổi tần số allele, nó chỉ sắp xếp lại các allele thành kiểu gene.
Với bệnh do allele lặn trên nhiễm sắc thể thường, tỉ lệ người mắc bệnh chính là $q^2$. Từ đó tính được $2pq$ — tỉ lệ người mang gene nhưng không biểu hiện. Con số này thường lớn hơn tỉ lệ người bệnh rất nhiều lần, đó là lý do các bệnh lặn hiếm gặp vẫn tồn tại dai dẳng trong quần thể: phần lớn allele bệnh đang “ẩn” trong những người khoẻ mạnh.
Một mở rộng hay ra ở câu vận dụng: trong nhóm người không mắc bệnh, tỉ lệ người mang gene không phải $2pq$ mà là $\dfrac{2pq}{1-q^2}=\dfrac{2q}{1+q}$, vì mẫu số đã bị thu hẹp về nhóm không bệnh.