Quá trình đẳng nhiệt là quá trình biến đổi trạng thái của một lượng khí xác định trong đó nhiệt độ được giữ không đổi. Hai chữ "lượng khí xác định" quan trọng không kém: số phân tử khí trong bình phải không đổi, không rò rỉ ra ngoài và không bơm thêm vào.
Trong thực tế, một quá trình được coi là đẳng nhiệt khi nó diễn ra đủ chậm để khí kịp trao đổi nhiệt với môi trường và giữ nguyên nhiệt độ môi trường. Nén nhanh một chiếc bơm xe đạp thì thân bơm nóng lên rõ rệt — đó không còn là quá trình đẳng nhiệt nữa.
Thực nghiệm cho thấy: ở nhiệt độ không đổi, áp suất của một lượng khí xác định tỉ lệ nghịch với thể tích của nó. Viết thành hệ thức:
$$pV=\text{hằng số}\qquad\text{hay}\qquad p_1V_1=p_2V_2.$$
Hai hệ quả dùng ngay được:
Cách kiểm nhanh mọi lời giải: khí bị nén thì áp suất phải tăng, khí giãn thì áp suất phải giảm. Kết quả đi ngược chiều đó nghĩa là đã lật ngược tỉ số thể tích.
| Hệ toạ độ | Dạng đường đẳng nhiệt | Vì sao |
|---|---|---|
| $(p,V)$ — trục hoành $V$, trục tung $p$ | một nhánh hypebol | $p=\dfrac{\text{hằng số}}{V}$ là hàm tỉ lệ nghịch |
| $(p,T)$ — trục hoành $T$, trục tung $p$ | đoạn thẳng vuông góc trục $OT$, tức song song trục $Op$ | $T$ giữ nguyên nên mọi điểm có cùng hoành độ |
| $(V,T)$ — trục hoành $T$, trục tung $V$ | đoạn thẳng vuông góc trục $OT$, tức song song trục $OV$ | cùng lý do: $T$ là hằng số |
Trong hệ $(p,V)$, mỗi nhiệt độ cho một nhánh hypebol riêng, gọi là một đường đẳng nhiệt. Vì $pV$ tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối nên nhiệt độ càng cao, đường đẳng nhiệt càng nằm xa gốc toạ độ. Hai đường đẳng nhiệt của cùng một lượng khí không bao giờ cắt nhau.
| Tình huống | Cách quy về định luật Boyle |
|---|---|
| Bọt khí nổi lên từ đáy hồ | Áp suất ở độ sâu $h$ là $p=p_0+\rho gh$, ở mặt nước là $p_0$. Nước ở hồ sâu coi như cùng nhiệt độ nên dùng $p_1V_1=p_2V_2$. Bọt nổi lên thì áp suất giảm nên thể tích tăng. |
| Bơm khí vào bình | Quy toàn bộ lượng khí về cùng một áp suất chuẩn: khí có sẵn trong bình cộng với khí của $n$ lần bơm, tất cả đo ở áp suất khí quyển, rồi nén vào đúng thể tích bình. |
| Hút khí ra khỏi bình | Mỗi lần hút, khí trong bình giãn từ $V$ ra $V+V_{xilanh}$ rồi phần trong xilanh bị lấy đi. Sau mỗi lần, áp suất nhân thêm hệ số $\dfrac{V}{V+V_{xilanh}}$. |
| Cột khí trong ống hay xilanh | Tiết diện không đổi nên thể tích tỉ lệ với chiều dài cột khí; được phép thay $V$ bằng chiều dài $\ell$ trong hệ thức Boyle. |
Công thức bơm khí viết gọn: nếu bình thể tích $V_0$ đang có khí ở áp suất $p_0$, mỗi lần bơm đưa vào một thể tích $\Delta V$ khí ở áp suất $p_0$, thì sau $n$ lần bơm áp suất trong bình là
$$p=p_0\cdot\dfrac{V_0+n\,\Delta V}{V_0}.$$
Lỗi kinh điển ở đây là quên lượng khí có sẵn trong bình, tức bỏ mất số hạng $V_0$ ở tử số. Cách tự kiểm: cho $n=0$, công thức phải trả lại đúng $p=p_0$.
Đề nói rõ "nén đẳng nhiệt" nên nhiệt độ giữ nguyên, lượng khí không đổi, dùng được ngay định luật Boyle.
Bước 1 — lập bảng hai trạng thái. Trạng thái 1: $p_1=1$ atm, $V_1=12$ lít. Trạng thái 2: $V_2=4$ lít, cần tìm $p_2$.
Bước 2 — viết hệ thức và rút ẩn: từ $p_1V_1=p_2V_2$ ta có $p_2=\dfrac{p_1V_1}{V_2}=\dfrac{1\cdot 12}{4}=3$ atm.
Bước 3 — bàn về đơn vị. Không cần đổi atm sang pascal, cũng không cần đổi lít sang mét khối, vì hai vế của hệ thức cùng loại đơn vị nên hệ số quy đổi tự triệt tiêu. Chỉ khi dùng phương trình Clapeyron $pV=nRT$ mới bắt buộc quy về hệ SI.
Bước 4 — kiểm chiều biến thiên. Thể tích giảm ba lần thì áp suất phải tăng đúng ba lần: từ 1 atm lên 3 atm. Nếu ai đó ra kết quả nhỏ hơn 1 atm thì chắc chắn đã viết nhầm thành $p_2=\dfrac{p_1V_2}{V_1}$, tức lật ngược tỉ số thể tích.
Lượng khí trong bọt không đổi, nhiệt độ coi như không đổi, chỉ có áp suất và thể tích thay đổi — đúng khuôn định luật Boyle.
Bước 1 — tính áp suất ở đáy hồ. Áp suất toàn phần bằng áp suất khí quyển cộng áp suất do cột nước gây ra: $p_1=p_0+\rho gh=10^{5}+1000\cdot 10\cdot 15=10^{5}+1{,}5\cdot 10^{5}=2{,}5\cdot 10^{5}$ Pa. Chỗ hay quên nhất là bỏ sót số hạng $p_0$; khi đó áp suất đáy chỉ còn $1{,}5\cdot 10^{5}$ Pa và mọi kết quả sau đều lệch.
Bước 2 — áp suất ở mặt nước chính là áp suất khí quyển: $p_2=10^{5}$ Pa.
Bước 3 — áp dụng $p_1V_1=p_2V_2$, suy ra $V_2=\dfrac{p_1V_1}{p_2}=\dfrac{2{,}5\cdot 10^{5}\cdot 1}{10^{5}}=2{,}5$ cm³.
Bước 4 — kiểm tra. Bọt khí đi lên thì áp suất tác dụng lên nó giảm, nên thể tích phải tăng; kết quả $2{,}5$ cm³ lớn hơn 1 cm³, đúng chiều. Nhận xét thêm: cứ mỗi 10 m nước, áp suất tăng thêm đúng $10^{5}$ Pa, tức bằng một lần áp suất khí quyển — con số đáng nhớ để ước lượng nhanh.
Bài này ngược với bài bơm khí vào: mỗi lần hút, khí trong bình giãn ra chiếm thêm thể tích xilanh, sau đó phần khí nằm trong xilanh bị đẩy ra ngoài.
Bước 1 — mô tả một lần hút. Khi kéo pit-tông, khí đang ở áp suất $p$ trong thể tích $V_0=3$ lít giãn đẳng nhiệt ra thể tích $V_0+V_x=3+1=4$ lít. Theo định luật Boyle, áp suất mới là $p'=p\cdot\dfrac{V_0}{V_0+V_x}=p\cdot\dfrac{3}{4}$. Sau đó đóng van, đẩy hết phần khí trong xilanh ra ngoài; khí còn lại trong bình vẫn ở áp suất $p'$ và chiếm 3 lít.
Bước 2 — nhận ra quy luật. Mỗi lần hút nhân áp suất thêm đúng hệ số $\dfrac{3}{4}$, không phụ thuộc lần thứ mấy. Sau $n$ lần hút: $p_n=p_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}$.
Bước 3 — thay số với $n=2$: $p_2=10^{5}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=10^{5}\cdot\dfrac{9}{16}=0{,}5625\cdot 10^{5}$ Pa, tức $5{,}625\cdot 10^{4}$ Pa.
Bước 4 — kiểm tra. Áp suất phải giảm sau mỗi lần hút, và giảm theo cấp số nhân chứ không theo cấp số cộng: đây là lý do một bơm hút thông thường không bao giờ tạo được chân không tuyệt đối, dù hút bao nhiêu lần thì áp suất cũng chỉ tiến dần về không.